Considere o sistema
& 4 x+y+z+w=6 & 3 x+7 y-z+w=1 & 7 x+3 y-5 z+8 w=-3 & x+y+z+2 w=3
(a) Resolva o sistema pela regra de Cramer.
(b) Resolva o sistema por eliminação de Gauss-Jordan
(c) Qual o método que envolve menos contas?

Passo 1

Resumo da questão: temos um sistema linear 4×4 e vamos resolvê-lo por dois métodos:
• (a) Regra de Cramer – que usa determinantes;
• (b) Eliminação de Gauss-Jordan – que usa operações elementares na matriz aumentada.
Para isso precisamos saber o que é matriz de coeficientes A, vetor de constantes b, determinante det(A) e como montar a matriz aumentada [Amid b].

Passo 2

(a) Resolução pela Regra de Cramer
  1. Monta-se
A= 4&1&1&1 3&7&-1&1 7&3&-5&8 1&1&1&2 , b=61-33
  1. A Regra de Cramer diz
xi=det(Ai)det(A),
onde Ai é obtida de A trocando a i-ésima coluna por b.
3. Calcula-se primeiro
det(A)=-424
(Faz-se expansão de Laplace ao longo de uma linha ou coluna, explicando cada menor.)
4. Seguindo o mesmo processo para as colunas trocadas, obtém-se
det(A1)=-424, det(A2)=0, det(A3)=-848, det(A4)=0
Logo
x=-424-424=1, y=0-424=0, z=-848-424=2, w=0-424=0
Portanto a solução é (1,0,2,0).

Passo 3

(b) Resolução por Eliminação de Gauss-Jordan
  1. Escreve-se a matriz aumentada
[Amid b] = 4&1&1&1&mid&6 3&7&-1&1&mid&1 7&3&-5&8&mid&-3 1&1&1&2&mid&3
  1. Faz-se troca de linhas e eliminações para zerar abaixo e acima dos pivôs, dividindo cada pivô para 1. Exemplo de passos:
  • Troca R1rightarrow R4 para ter pivô 1;
  • R2to R2-3R1,;R3to R3-7R1,;R4to R4-4R1;
  • Divide o 2º pivô, zera acima e abaixo dele;
  • Repetir até chegar em forma reduzida:
1&0&0&0&mid&1 0&1&0&0&mid&0 0&0&1&0&mid&2 0&0&0&1&mid&0
  1. Daí lemos direto x=1, y=0, z=2, w=0.

Passo 4

(c) Qual método tem menos contas?
  • Regra de Cramer: precisa de 5 determinantes de ordem 4 (muito cálculo).
  • Gauss-Jordan: várias operações de linha, mas muito mais econômico em um sistema 4×4.
    Logo, Gauss-Jordan é mais prático.

Resposta

(a) (x,y,z,w)=(1,0,2,0)
(b) (x,y,z,w)=(1,0,2,0)
(c) Eliminação de Gauss-Jordan exige menos cálculos que a Regra de Cramer.

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