Resolva y^prime prime-5 y^prime+6 y=0 com y(0)=2, y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 5y' + 6y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=3. Vamos usar o método de equação característica para encontrar a solução geral e depois determinar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à EDO, trocando y por e^rx:
r^2 - 5r + 6 = 0
Resolvendo essa equação quadrática para r.

Passo 3

Calculamos as raízes de
r^2 - 5r + 6 = 0
usando fatoração ou fórmula de Bhaskara. A fatoração direto é
r^2 - 5r + 6 = (r - 2)(r - 3) = 0,
logo as raízes são r1 = 2 e r2 = 3.

Passo 4

Como as raízes são distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^2x + C2 e^3x
Agora calculamos a derivada
y'(x) = 2C1 e^2x + 3C2 e^3x
e aplicamos as condições iniciais para determinar C1 e C2.

Passo 5

Em
Resolvendo o sistema
subtraindo e, em seguida, .

Resposta

A solução do problema é
y(x) = 3e^2x - e^3x

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