Pede-se discutir e resolver cada um dos sistemas abaixo pela eliminação de Gauss–Jordan. Vou interpretar os “sistemas abaixo” como os três sistemas de duas equações obtidos por pares das equações dadas, ou seja:
Sistema (I): \displaystyle\begin{cases}2x-3y=-2\\[4pt]2x+y=1\end{cases}.
Sistema (II): \displaystyle\begin{cases}2x+y=1\\[4pt]3x+2y=1\end{cases}.
Sistema (III): \displaystyle\begin{cases}2x-3y=-2\\[4pt]3x+2y=1\end{cases}.
O que vou fazer: para cada sistema montar a matriz aumentada e aplicar operações de linha elementares até obter a forma reduzida (Gauss–Jordan), da qual se lê a solução ou a conclusão sobre existência/uniqueness.
Informações relevantes dadas: as constantes e coeficientes das equações acima. Não há informação adicional (por exemplo, parâmetros); cada sistema é numérico e fechado.]
Passo 2
Rápida explicação do método Gauss–Jordan (aula mini): a ideia é transformar a matriz aumentada do sistema por operações de linha elementares até chegar à forma reduzida por linhas (RREF), que tem pivôs iguais a 1 e zeros em toda a coluna dos pivôs. Operações permitidas (não mudam o conjunto de soluções):
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
somar a um múltiplo de uma linha outra linha.
Na prática, escolhe-se um pivô (geralmente o primeiro coeficiente não nulo em uma linha), normaliza-se para 1 e usa-se esse pivô para zerar as entradas acima e abaixo dele. Isso dá uma solução direta sem necessidade de substituição manual.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo em cada sistema, mostrando as operações de linha usadas.
Leitura da forma reduzida: \;x=\tfrac{1}{8},\; y=\tfrac{3}{4}.
Discussão: o determinante da matriz dos coeficientes (calcule \det\begin{pmatrix}2&-3\\[2pt]2&1\end{pmatrix}=2\cdot1-(-3)\cdot2=2+6=8) é diferente de zero, portanto o sistema é compatível determinado (solução única).]
Operação 4: zerar o coeficiente de y na primeira linha: R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{1}{2}R_2. O termo do lado direito fica \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\cdot(-1)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1. Assim
Objetivo: eliminar x de uma das linhas combinando múltiplos inteiros para evitar frações imediatas. Multiplico a primeira linha por 3 e a segunda por 2 e subtraio para eliminar x:
3R_1 = (6,\;-9,\;-6),\qquad 2R_2=(6,\;4,\;2).
Faço R_2' \leftarrow 3R_1 - 2R_2, que elimina a coluna de x:
R_2' = (6-6,\;-9-4,\;-6-2)=(0,\;-13,\;-8).
Assim a matriz transforma-se (substituindo a segunda linha por R_2'):
Operação 3: zerar o coeficiente de y na primeira linha somando 3 vezes a segunda linha à primeira:
R_1 \leftarrow R_1 + 3R_2.
Cálculo do lado direito: -2 + 3\cdot\tfrac{8}{13} = -2 + \tfrac{24}{13} = \tfrac{-26+24}{13}=\tfrac{-2}{13}. A primeira linha vira (2,0\,|\,-\tfrac{2}{13}). Assim
Resumo e observações finais (motivação): todos os três sistemas são compatíveis determinados — cada um tem exatamente uma solução — porque em cada caso a matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero. O método Gauss–Jordan torna o processo sistemático: escolhe pivôs, normaliza e elimina acima/abaixo para obter a forma reduzida e ler a solução diretamente. Se em algum sistema uma linha da forma (0\\\ 0\mid c) com c\neq0 aparecesse, isso indicaria incompatibilidade; se aparecesse uma linha (0\\\ 0\mid 0) e outra linha livre, haveria infinitas soluções. Aqui não ocorreu nenhum desses casos.
Resposta
Sistema (I): x=\tfrac{1}{8},\; y=\tfrac{3}{4}
Sistema (II): x=1,\; y=-1
Sistema (III): x=-\tfrac{1}{13},\; y=\tfrac{8}{13}