Considere os sistemas abaixo:
\left\{\begin{array}{c}2 x-3 y=-2 \\\\ 2 x+y=1 \\\\ 3 x+2 y=1\end{array}\right.
Discutir e resolver cada um deles pela eliminação de Gauss-Jordan.

Passo 1

O enunciado fornece as três equações
\begin{cases} 2x-3y=-2,\\[4pt] 2x+y=1,\\[4pt] 3x+2y=1.
Pede-se discutir e resolver cada um dos sistemas abaixo pela eliminação de Gauss–Jordan. Vou interpretar os “sistemas abaixo” como os três sistemas de duas equações obtidos por pares das equações dadas, ou seja:
  • Sistema (I): \displaystyle\begin{cases}2x-3y=-2\\[4pt]2x+y=1\end{cases}.
  • Sistema (II): \displaystyle\begin{cases}2x+y=1\\[4pt]3x+2y=1\end{cases}.
  • Sistema (III): \displaystyle\begin{cases}2x-3y=-2\\[4pt]3x+2y=1\end{cases}.
O que vou fazer: para cada sistema montar a matriz aumentada e aplicar operações de linha elementares até obter a forma reduzida (Gauss–Jordan), da qual se lê a solução ou a conclusão sobre existência/uniqueness.
Informações relevantes dadas: as constantes e coeficientes das equações acima. Não há informação adicional (por exemplo, parâmetros); cada sistema é numérico e fechado.]

Passo 2

Rápida explicação do método Gauss–Jordan (aula mini): a ideia é transformar a matriz aumentada do sistema por operações de linha elementares até chegar à forma reduzida por linhas (RREF), que tem pivôs iguais a 1 e zeros em toda a coluna dos pivôs. Operações permitidas (não mudam o conjunto de soluções):
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  • somar a um múltiplo de uma linha outra linha.
Na prática, escolhe-se um pivô (geralmente o primeiro coeficiente não nulo em uma linha), normaliza-se para 1 e usa-se esse pivô para zerar as entradas acima e abaixo dele. Isso dá uma solução direta sem necessidade de substituição manual.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo em cada sistema, mostrando as operações de linha usadas.

Passo 3

Resolver o Sistema (I)
\begin{cases} 2x-3y=-2,\\[4pt] 2x+y=1. \end{cases}
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & -3 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 1 \end{array}\right].
Operação 1: eliminar x na segunda linha subtraindo a primeira linha da segunda:
R_2 \leftarrow R_2 - R_1.
Isso dá
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 4 & 3 \end{array}\right].
Explicando: 2-2=0, 1-(-3)=4, 1-(-2)=3.
Operação 2: normalizar a segunda linha (dividir por 4) para obter o pivô 1 na coluna de y:
R_2 \leftarrow \dfrac{1}{4}R_2 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|c} 2 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{3}{4} \end{array}\right].
Agora temos y=\tfrac{3}{4} se a primeira coluna fosse zero; mas seguimos o Gauss–Jordan para zerar acima do pivô.
Operação 3: zerar o coeficiente de y na primeira linha somando 3 vezes a segunda linha à primeira:
R_1 \leftarrow R_1 + 3R_2.
Cálculo: primeira linha passa a (2,\;0\;|\;-2+3\cdot\tfrac{3}{4}). O termo do lado direito é -2 + \tfrac{9}{4} = \tfrac{-8+9}{4}=\tfrac{1}{4}. Assim
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 0 & \tfrac{1}{4}\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{3}{4} \end{array}\right].
Operação 4: normalizar a primeira linha dividindo por 2 para obter x isolado:
R_1 \leftarrow \dfrac{1}{2}R_1 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & \tfrac{1}{8}\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{3}{4} \end{array}\right].
Leitura da forma reduzida: \;x=\tfrac{1}{8},\; y=\tfrac{3}{4}.
Discussão: o determinante da matriz dos coeficientes (calcule \det\begin{pmatrix}2&-3\\[2pt]2&1\end{pmatrix}=2\cdot1-(-3)\cdot2=2+6=8) é diferente de zero, portanto o sistema é compatível determinado (solução única).]

Passo 4

Resolver o Sistema (II)
\begin{cases} 2x+y=1,\\[4pt] 3x+2y=1. \end{cases}
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 2 & 1 \end{array}\right].
Operação 1: normalizar a primeira linha dividindo por 2 para facilitar:
R_1 \leftarrow \dfrac{1}{2}R_1 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|c} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 3 & 2 & 1 \end{array}\right].
Operação 2: zerar o coeficiente de x na segunda linha usando R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1:
R_2 - 3R_1 = (3-3,\; 2-3\cdot\tfrac{1}{2},\;1-3\cdot\tfrac{1}{2})=(0,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}).
Matriz:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{array}\right].
Operação 3: normalizar a segunda linha multiplicando por 2:
R_2 \leftarrow 2R_2 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|c} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{array}\right].
Logo y=-1.
Operação 4: zerar o coeficiente de y na primeira linha: R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{1}{2}R_2. O termo do lado direito fica \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\cdot(-1)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1. Assim
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{array}\right].
Leitura: \;x=1,\; y=-1.
Discussão: determinante \det\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]3&2\end{pmatrix}=2\cdot2-1\cdot3=4-3=1\neq0, sistema compatível determinado.]

Passo 5

Resolver o Sistema (III)
\begin{cases} 2x-3y=-2,\\[4pt] 3x+2y=1. \end{cases}
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & -3 & -2\\[4pt] 3 & 2 & 1 \end{array}\right].
Objetivo: eliminar x de uma das linhas combinando múltiplos inteiros para evitar frações imediatas. Multiplico a primeira linha por 3 e a segunda por 2 e subtraio para eliminar x:
3R_1 = (6,\;-9,\;-6),\qquad 2R_2=(6,\;4,\;2).
Faço R_2' \leftarrow 3R_1 - 2R_2, que elimina a coluna de x:
R_2' = (6-6,\;-9-4,\;-6-2)=(0,\;-13,\;-8).
Assim a matriz transforma-se (substituindo a segunda linha por R_2'):
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & -3 & -2\\[4pt] 0 & -13 & -8 \end{array}\right].
Operação 2: normalizar a segunda linha dividindo por -13 para obter o pivô 1:
R_2 \leftarrow -\dfrac{1}{13}R_2 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|c} 2 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{8}{13} \end{array}\right].
Logo y=\tfrac{8}{13}.
Operação 3: zerar o coeficiente de y na primeira linha somando 3 vezes a segunda linha à primeira:
R_1 \leftarrow R_1 + 3R_2.
Cálculo do lado direito: -2 + 3\cdot\tfrac{8}{13} = -2 + \tfrac{24}{13} = \tfrac{-26+24}{13}=\tfrac{-2}{13}. A primeira linha vira (2,0\,|\,-\tfrac{2}{13}). Assim
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 0 & -\tfrac{2}{13}\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{8}{13} \end{array}\right].
Operação 4: normalizar a primeira linha dividindo por 2:
R_1 \leftarrow \dfrac{1}{2}R_1 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & -\tfrac{1}{13}\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{8}{13} \end{array}\right].
Leitura: \;x=-\tfrac{1}{13},\; y=\tfrac{8}{13}.
Discussão: determinante \det\begin{pmatrix}2&-3\\[2pt]3&2\end{pmatrix}=2\cdot2-(-3)\cdot3=4+9=13\neq0, portanto solução única.]

Passo 6

Resumo e observações finais (motivação): todos os três sistemas são compatíveis determinados — cada um tem exatamente uma solução — porque em cada caso a matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero. O método Gauss–Jordan torna o processo sistemático: escolhe pivôs, normaliza e elimina acima/abaixo para obter a forma reduzida e ler a solução diretamente. Se em algum sistema uma linha da forma (0\\\ 0\mid c) com c\neq0 aparecesse, isso indicaria incompatibilidade; se aparecesse uma linha (0\\\ 0\mid 0) e outra linha livre, haveria infinitas soluções. Aqui não ocorreu nenhum desses casos.

Resposta

Sistema (I): x=\tfrac{1}{8},\; y=\tfrac{3}{4}
Sistema (II): x=1,\; y=-1
Sistema (III): x=-\tfrac{1}{13},\; y=\tfrac{8}{13}

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