Considere os sistemas: \left\{\begin{array}{c}x+y=3 \\\\ -x+y=1\end{array}\right.
Discuta e resolva cada um desses sistemas. Em seguida, dê-lhes uma interpretação geométrica.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
\begin{cases} x+y=3\\[4pt] -x+y=1 \end{cases}
O que é pedido:
Discutir o sistema (isto é, verificar se tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução).
Resolver o sistema (achar os valores de x e y).
Dar uma interpretação geométrica das equações e da solução encontrada.
Informações relevantes fornecidas (coisas que podemos usar diretamente):
Coeficientes da primeira equação: a_{11}=1, a_{12}=1, termo independente b_1=3.
Coeficientes da segunda equação: a_{21}=-1, a_{22}=1, termo independente b_2=1.]
Passo 2
Resolver o sistema por eliminação (método direto e elementar). A ideia é combinar as equações para eliminar uma incógnita e assim achar a outra.
Somando as duas equações termo a termo:
(x+y)+(-x+y)=3+1
No lado esquerdo, x e -x se cancelam, sobrando y+y=2y. No lado direito, 3+1=4. Logo obtemos a equação
2y=4
Dividindo ambos os lados por 2 encontramos
y=2
Agora que achamos y, substituímos em qualquer das equações originais para achar x. Uso a primeira equação \,x+y=3\::
x+2=3
Subtraindo 2 de ambos os lados:
x=1
Portanto, pela eliminação obtemos a solução (x,y)=(1,2).
Passo 3
Verificação rápida: substituir \,x=1\: e \,y=2\: nas duas equações para confirmar.
Primeira equação:
1+2=3\quad\checkmark
Segunda equação:
-1+2=1\quad\checkmark
As duas equações são satisfeitas, logo a solução está correta.
Passo 4
Discutir o sistema usando o determinante da matriz dos coeficientes (uma forma de decidir existência e unicidade de solução). Para um sistema linear 2\times2\)
\[\begin{cases} a_{11}x+a_{12}y=b_1\\[4pt] a_{21}x+a_{22}y=b_2 \end{cases}
define-se o determinante
\Delta = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.
Se \Delta\neq0\], o sistema tem solução única; se \(\Delta=0, pode ter infinitas soluções (se as equações são proporcionais) ou nenhuma solução (se as retas são paralelas, mesmas inclinações mas diferentes termos independentes).
No nosso caso:
\Delta = 1\cdot1 - 1\cdot(-1)=1-(-1)=2.
Como \Delta=2\neq0, concluímos que o sistema tem exatamente uma solução (unicidade), que já encontramos: x=1, y=2.
Podemos também aplicar a Regra de Cramer para confirmar (apenas para didática). Para x e y:
Interpretação geométrica (explicação passo a passo e intuitiva). Cada equação linear em x,y representa uma reta no plano cartesiano:
A primeira equação \,x+y=3\: pode ser escrita como \,y=3-x\:. Esta reta tem coeficiente angular (inclinação) -1 e intercepto no eixo y igual a 3.
A segunda equação \,-x+y=1\: pode ser escrita como \,y=x+1\:. Esta reta tem inclinação 1 e intercepto no eixo y igual a 1.
Como as inclinações são diferentes (-1 e 1), as retas não são paralelas e portanto se encontram em exatamente um ponto. Esse ponto de interseção é a solução do sistema. Para encontrar o ponto de interseção resolvemos o sistema e obtivemos (x,y)=(1,2). Geometricamente, isto significa que as duas retas se cruzam no ponto de coordenadas x=1 e y=2.
Comentário intuitivo: se as retas tivessem a mesma inclinação mas interceptos diferentes seriam paralelas (nenhuma solução). Se fossem exatamente a mesma reta (mesma inclinação e mesmo intercepto) teríamos infinitas soluções (todas os pontos da reta).
Resposta
Solução: x=1, y=2.
Interpretação geométrica: as retas y=3-x e y=x+1 intersectam-se em um único ponto, que é (1,2).