Considere a situação (II): em cada um dos vértices de dois quadrados de lados
e
, está fixada uma partícula de carga
. Chamamos a configuração de cargas formada pelo quadrado de lado
de configuração 1 e a configuração formada pelo quadrado de lado
de configuração 2. A energia potencial eletrostática associada à configuração 1 vale
e a energia potencial eletrostática associada à configuração 2 vale
. São realizadas as seguintes afirmativas:
Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Se a afirmativa for falsa, dê em uma justificativa ou um contraexemplo.
( ) A energia potencial eletrostática associada às oito cargas é
.
Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Se a afirmativa for falsa, dê em uma justificativa ou um contraexemplo.
( ) A energia potencial eletrostática associada às oito cargas é
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que avaliemos a veracidade de uma afirmação.
- Temos dois quadrados; um de lado
e outro de lado . - Em cada vértice de cada quadrado está fixa uma partícula de carga
. Logo há 4 cargas no quadrado de lado (que chamamos de configuração 1) e 4 cargas no quadrado de lado (configuração 2). - A energia potencial eletrostática associada à configuração 1 vale
. - A energia potencial eletrostática associada à configuração 2 vale
. - A afirmativa a julgar é: “A energia potencial eletrostática associada às oito cargas é
.”
Esses são os dados e a pergunta. Não vou resolver nada ainda, apenas organizei o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Vou apresentar a fórmula correta que dá a energia potencial eletrostática de um sistema de cargas puntiformes — isso é crucial para entender por que a afirmativa pode estar errada.
- Seja um sistema com
cargas puntuais em posições quaisquer. A energia potencial eletrostática total do sistema é dada por
- Aqui
é a permissividade do vácuo, e é a distância entre as cargas e . - Explicação do porquê do fator
: na soma cada par aparece duas vezes (como e ), então colocamos para não contar dupla vez a energia associada a cada par. - Intuitivamente, a energia total é a soma das contribuições de todas as interações par-a-par entre as cargas.
Passo 3
Agora aplico essa fórmula ao nosso problema, separando as cargas em dois grupos: grupo
= as 4 cargas do quadrado de lado
(configuração 1) e grupo
= as 4 cargas do quadrado de lado
(configuração 2).
- Denotemos por
a soma das contribuições par-a-par entre as cargas dentro de , e por a soma das contribuições par-a-par entre as cargas dentro de . Pelas definições do enunciado, e . - A soma dupla sobre todas as cargas pode ser separada em três partes: pares ambos em
, pares ambos em , e pares com uma carga em e a outra em . Assim, escrevemos
- Note que o termo cruzado aparece com fator
dentro do parêntese porque as somas e são as duas direções do mesmo conjunto de pares; o fator externo cancela esse . - Simplificando, obtemos
onde
é a energia de interação entre as cargas dos dois quadrados.
Passo 4
Interpretação e consequência direta para a afirmativa:
- A afirmativa do enunciado dizia que
. Pela conta acima, isso seria verdade apenas se . - No nosso caso todas as cargas valem
, portanto
- Cada termo
é positivo (distâncias são positivas) e, com , cada soma é positiva. Logo em geral, e assim . - Conclusão: em geral a energia total das oito cargas é maior que
; portanto a afirmativa é falsa, salvo casos especiais (por exemplo quando os dois quadrados estão infinitamente separados, então e ).
Passo 5
Um contraexemplo explícito e numérico rápido (para solidificar a ideia):
- Coloque os dois quadrados com o mesmo alinhamento e centros separados por uma distância finita
tal que, aproximando grosseiramente, cada distância (isso é só uma aproximação para ver que o termo cruzado não some). Então a interação aproximada é
porque há
pares
.
- Isso é claramente não nulo (e positivo se
é positivo), então , mostrando concretamente que a soma está faltando essa contribuição. - Portanto o exemplo com
finito é um contraexemplo: a afirmativa é falsa.
Passo 6
Observações finais e casos especiais:
- A única situação em que
é quando . Isso ocorre se as cargas de um quadrado não interagem com as do outro — por exemplo quando a separação entre os quadrados tende a infinito, ou se as cargas fossem escolhidas de maneira a cancelar exatamente as interações (situação não aplicada aqui, já que todas as cargas valem ). - Se as cargas tivessem sinais opostos poderia haver cancelações e
pode ser negativo; ainda assim, em geral, nunca podemos garantir que sem informação extra sobre posições ou sinais.
Resposta
Falso.