Considere a situação (II): em cada um dos vértices de dois quadrados de lados L e L^{\prime}=f L, está fixada uma partícula de carga q. Chamamos a configuração de cargas formada pelo quadrado de lado L de configuração 1 e a configuração formada pelo quadrado de lado L^{\prime} de configuração 2. A energia potencial eletrostática associada à configuração 1 vale U e a energia potencial eletrostática associada à configuração 2 vale U^{\prime}. São realizadas as seguintes afirmativas:
Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Se a afirmativa for falsa, dê em uma justificativa ou um contraexemplo.
( ) A energia potencial eletrostática associada às oito cargas é U+U^{\prime}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que avaliemos a veracidade de uma afirmação.
  • Temos dois quadrados; um de lado L e outro de lado L' = fL.
  • Em cada vértice de cada quadrado está fixa uma partícula de carga q. Logo há 4 cargas no quadrado de lado L (que chamamos de configuração 1) e 4 cargas no quadrado de lado L' (configuração 2).
  • A energia potencial eletrostática associada à configuração 1 vale U.
  • A energia potencial eletrostática associada à configuração 2 vale U'.
  • A afirmativa a julgar é: “A energia potencial eletrostática associada às oito cargas é U+U'.”
Esses são os dados e a pergunta. Não vou resolver nada ainda, apenas organizei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Vou apresentar a fórmula correta que dá a energia potencial eletrostática de um sistema de cargas puntiformes — isso é crucial para entender por que a afirmativa pode estar errada.
  • Seja um sistema com N cargas puntuais q_1,q_2,\dots,q_N em posições quaisquer. A energia potencial eletrostática total do sistema é dada por
U_{\text{total}}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{\substack{j=1\\\ j\ne i}}^N \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_i q_j}{r_{ij}}.
  • Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, e r_{ij} é a distância entre as cargas q_i e q_j.
  • Explicação do porquê do fator \tfrac12: na soma \sum_i\sum_{j\ne i} cada par (i,j) aparece duas vezes (como (i,j) e (j,i)), então colocamos \tfrac12 para não contar dupla vez a energia associada a cada par.
  • Intuitivamente, a energia total é a soma das contribuições de todas as interações par-a-par entre as cargas.

Passo 3

Agora aplico essa fórmula ao nosso problema, separando as cargas em dois grupos: grupo A = as 4 cargas do quadrado de lado L (configuração 1) e grupo B = as 4 cargas do quadrado de lado L' (configuração 2).
  • Denotemos por U_A a soma das contribuições par-a-par entre as cargas dentro de A, e por U_B a soma das contribuições par-a-par entre as cargas dentro de B. Pelas definições do enunciado, U_A=U e U_B=U'.
  • A soma dupla sobre todas as cargas pode ser separada em três partes: pares ambos em A, pares ambos em B, e pares com uma carga em A e a outra em B. Assim, escrevemos
U_{\text{total}}=\frac{1}{2}\Bigg(\sum_{i\in A}\sum_{\substack{j\in A\\\ j\ne i}}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_i q_j}{r_{ij}} +\sum_{i\in B}\sum_{\substack{j\in B\\\ j\ne i}}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_i q_j}{r_{ij}} +2\sum_{i\in A}\sum_{j\in B}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_i q_j}{r_{ij}}\Bigg).
  • Note que o termo cruzado aparece com fator 2 dentro do parêntese porque as somas (i\in A, j\in B) e (i\in B, j\in A) são as duas direções do mesmo conjunto de pares; o fator \tfrac12 externo cancela esse 2.
  • Simplificando, obtemos
U_{\text{total}} = U_A + U_B + U_{\text{int}},
onde
U_{\text{int}}=\sum_{i\in A}\sum_{j\in B}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_i q_j}{r_{ij}}
é a energia de interação entre as cargas dos dois quadrados.

Passo 4

Interpretação e consequência direta para a afirmativa:
  • A afirmativa do enunciado dizia que U_{\text{total}}=U+U'. Pela conta acima, isso seria verdade apenas se U_{\text{int}}=0.
  • No nosso caso todas as cargas valem q, portanto
U_{\text{int}}=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i\in A}\sum_{j\in B}\frac{1}{r_{ij}}.
  • Cada termo \frac{1}{r_{ij}} é positivo (distâncias são positivas) e, com q^2>0, cada soma é positiva. Logo U_{\text{int}}>0 em geral, e assim U_{\text{total}}=U+U'+U_{\text{int}}>U+U'.
  • Conclusão: em geral a energia total das oito cargas é maior que U+U'; portanto a afirmativa é falsa, salvo casos especiais (por exemplo quando os dois quadrados estão infinitamente separados, então r_{ij}\to\infty e U_{\text{int}}\to0).

Passo 5

Um contraexemplo explícito e numérico rápido (para solidificar a ideia):
  • Coloque os dois quadrados com o mesmo alinhamento e centros separados por uma distância finita d tal que, aproximando grosseiramente, cada distância r_{ij}\approx d (isso é só uma aproximação para ver que o termo cruzado não some). Então a interação aproximada é
U_{\text{int}}\approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{d}\times 16,
porque há 4\times 4=16 pares i\in A, j\in B.
  • Isso é claramente não nulo (e positivo se q é positivo), então U_{\text{total}}\approx U+U' + \dfrac{16q^2}{4\pi\varepsilon_0 d}, mostrando concretamente que a soma U+U' está faltando essa contribuição.
  • Portanto o exemplo com d finito é um contraexemplo: a afirmativa é falsa.

Passo 6

Observações finais e casos especiais:
  • A única situação em que U_{\text{total}}=U+U' é quando U_{\text{int}}=0. Isso ocorre se as cargas de um quadrado não interagem com as do outro — por exemplo quando a separação entre os quadrados tende a infinito, ou se as cargas fossem escolhidas de maneira a cancelar exatamente as interações (situação não aplicada aqui, já que todas as cargas valem q).
  • Se as cargas tivessem sinais opostos poderia haver cancelações e U_{\text{int}} pode ser negativo; ainda assim, em geral, nunca podemos garantir que U_{\text{int}}=0 sem informação extra sobre posições ou sinais.

Resposta

Falso.

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