Considere a situação (II): em cada um dos vértices de dois quadrados de lados
e
, está fixada uma partícula de carga
. Chamamos a configuração de cargas formada pelo quadrado de lado
de configuração 1 e a configuração formada pelo quadrado de lado
de configuração 2. A energia potencial eletrostática associada à configuração 1 vale
e a energia potencial eletrostática associada à configuração 2 vale
. São realizadas as seguintes afirmativas:
Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Se a afirmativa for falsa, dê em uma justificativa ou um contraexemplo.
( ) O trabalho realizado pelo campo eletrostático para modificar a configuração 1 de modo que a disposição final das partículas seja equivalente à configuração 2 é positivo.
Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Se a afirmativa for falsa, dê em uma justificativa ou um contraexemplo.
( ) O trabalho realizado pelo campo eletrostático para modificar a configuração 1 de modo que a disposição final das partículas seja equivalente à configuração 2 é positivo.
Passo 1
O enunciado dá: dois quadrados, cada um com partículas de carga
fixadas em seus 4 vértices. O quadrado da configuração 1 tem lado
e energia potencial eletrostática
. O quadrado da configuração 2 tem lado
e energia potencial
. A afirmativa a julgar é: “O trabalho realizado pelo campo eletrostático para modificar a configuração 1 de modo que a disposição final seja equivalente à configuração 2 é positivo.”
Informações relevantes listadas: as cargas são iguais ( ), os comprimentos escalam por
, e as energias são
e
. A pergunta pede apenas julgar a verdade da afirmativa (e, se falsa, justificar ou dar contraexemplo).
Informações relevantes listadas: as cargas são iguais (
Passo 2
Vamos escrever a fórmula geral da energia potencial eletrostática de um conjunto de cargas puntuais, porque isso é o que nos conecta
e
. Para um conjunto de cargas
localizadas em posições com pares separados por distâncias
, a energia total é dada por
Aqui
é a permissividade do vácuo, a soma é feita sobre todos os pares distintos
, e
é a distância entre as cargas
e
. Esta fórmula representa a soma das energias de interação de todos os pares.
Passo 3
No nosso caso todas as cargas valem
. Então cada termo
vira
. Além disso, todas as distâncias entre vértices de um quadrado são proporcionais ao lado
: se dividirmos cada distância pelo lado
obtemos números adimensionais fixos (por exemplo, arestas valem
, diagonais valem
times
, etc.). Podemos escrever a energia da configuração 1 como
onde
são distâncias adimensionais que dependem apenas da geometria do quadrado (por exemplo
para lados,
para diagonais). O fator
é um número fixo para o quadrado.
Passo 4
Fazendo o mesmo raciocínio para a configuração 2, cuja escala linear é
, todas as distâncias
são
vezes as correspondentes
. Logo
Portanto obtemos a relação simples de escala
Passo 5
Agora ligamos isso ao trabalho realizado pelo campo eletrostático. Para um campo conservativo (como o campo eletrostático), o trabalho realizado pelo campo ao passar de uma configuração inicial para uma final vale o negativo da variação da energia potencial do sistema:
Esta igualdade vem da definição de energia potencial: se a energia potencial aumenta, o campo forneceu trabalho negativo (isto é, foi necessário que um agente externo fizesse trabalho positivo).
Passo 6
Substituindo
obtemos
O sinal de
depende então do valor de
:
- Se
então e . - Se
então . - Se
então e .
Passo 7
Portanto a afirmativa “o trabalho realizado pelo campo eletrostático é positivo” não é sempre verdadeira: depende de
. Dou um contraexemplo explícito para mostrar que a afirmativa é falsa em geral. Escolha
(isto é, a configuração final é um quadrado com lado metade do inicial). Então
e
Logo o trabalho do campo é negativo nesse caso. Intuição física: para cargas de mesmo sinal aproximá‑las (diminuir
) aumenta a energia potencial; o campo, nesse processo, realiza trabalho negativo — é preciso um agente externo fazer trabalho positivo para aproximá‑las.
Passo 8
Conclusão: a afirmativa dada é falsa porque o sinal do trabalho do campo depende do fator de escala
. Se
o trabalho do campo é positivo; se
é negativo; se
é nulo.
Resposta
Falso