Considere a situação (II): em cada um dos vértices de dois quadrados de lados L e L^{\prime}=f L, está fixada uma partícula de carga q. Chamamos a configuração de cargas formada pelo quadrado de lado L de configuração 1 e a configuração formada pelo quadrado de lado L^{\prime} de configuração 2. A energia potencial eletrostática associada à configuração 1 vale U e a energia potencial eletrostática associada à configuração 2 vale U^{\prime}. São realizadas as seguintes afirmativas:
Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Se a afirmativa for falsa, dê em uma justificativa ou um contraexemplo.
( ) O trabalho realizado pelo campo eletrostático para modificar a configuração 1 de modo que a disposição final das partículas seja equivalente à configuração 2 é positivo.

Passo 1

O enunciado dá: dois quadrados, cada um com partículas de carga q fixadas em seus 4 vértices. O quadrado da configuração 1 tem lado L e energia potencial eletrostática U. O quadrado da configuração 2 tem lado L' = fL e energia potencial U'. A afirmativa a julgar é: “O trabalho realizado pelo campo eletrostático para modificar a configuração 1 de modo que a disposição final seja equivalente à configuração 2 é positivo.”
Informações relevantes listadas: as cargas são iguais ( q), os comprimentos escalam por f, e as energias são U e U'. A pergunta pede apenas julgar a verdade da afirmativa (e, se falsa, justificar ou dar contraexemplo).

Passo 2

Vamos escrever a fórmula geral da energia potencial eletrostática de um conjunto de cargas puntuais, porque isso é o que nos conecta U e U'. Para um conjunto de cargas q_i localizadas em posições com pares separados por distâncias r_{ij}, a energia total é dada por
U=\sum_{i<j}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_i q_j}{r_{ij}}.
Aqui \epsilon_0 é a permissividade do vácuo, a soma é feita sobre todos os pares distintos i<j, e r_{ij} é a distância entre as cargas i e j. Esta fórmula representa a soma das energias de interação de todos os pares.

Passo 3

No nosso caso todas as cargas valem q. Então cada termo \dfrac{q_i q_j}{r_{ij}} vira \dfrac{q^2}{r_{ij}}. Além disso, todas as distâncias entre vértices de um quadrado são proporcionais ao lado L: se dividirmos cada distância pelo lado L obtemos números adimensionais fixos (por exemplo, arestas valem 1, diagonais valem \sqrt{2} times L, etc.). Podemos escrever a energia da configuração 1 como
U=\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i<j}\frac{1}{r_{ij}} =\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 L}\sum_{i<j}\frac{1}{\tilde r_{ij}},
onde \tilde r_{ij}=r_{ij}/L são distâncias adimensionais que dependem apenas da geometria do quadrado (por exemplo \tilde r=1 para lados, \tilde r=\sqrt{2} para diagonais). O fator \sum_{i<j}1/\tilde r_{ij} é um número fixo para o quadrado.

Passo 4

Fazendo o mesmo raciocínio para a configuração 2, cuja escala linear é L'=fL, todas as distâncias r'_{ij} são f vezes as correspondentes r_{ij}. Logo
U'=\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i<j}\frac{1}{r'_{ij}} =\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i<j}\frac{1}{f r_{ij}} =\frac{1}{f}\left(\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i<j}\frac{1}{r_{ij}}\right).
Portanto obtemos a relação simples de escala
U'=\frac{1}{f}\,U.

Passo 5

Agora ligamos isso ao trabalho realizado pelo campo eletrostático. Para um campo conservativo (como o campo eletrostático), o trabalho realizado pelo campo ao passar de uma configuração inicial para uma final vale o negativo da variação da energia potencial do sistema:
W_{\text{campo}}=-\Delta U=-(U'-U)=U-U'.
Esta igualdade vem da definição de energia potencial: se a energia potencial aumenta, o campo forneceu trabalho negativo (isto é, foi necessário que um agente externo fizesse trabalho positivo).

Passo 6

Substituindo U'=\dfrac{1}{f}U obtemos
W_{\text{campo}}=U-\frac{1}{f}U=U\!\left(1-\frac{1}{f}\right).
O sinal de W_{\text{campo}} depende então do valor de f:
  • Se \;f>1\; então \;1-\dfrac{1}{f}>0 e W_{\text{campo}}>0.
  • Se \;f=1\; então W_{\text{campo}}=0.
  • Se \;0<f<1\; então \;1-\dfrac{1}{f}<0 e W_{\text{campo}}<0.

Passo 7

Portanto a afirmativa “o trabalho realizado pelo campo eletrostático é positivo” não é sempre verdadeira: depende de f. Dou um contraexemplo explícito para mostrar que a afirmativa é falsa em geral. Escolha \;f=\tfrac{1}{2}\; (isto é, a configuração final é um quadrado com lado metade do inicial). Então \;U'=\dfrac{1}{f}U=2U e
W_{\text{campo}}=U-U'=U-2U=-U<0.
Logo o trabalho do campo é negativo nesse caso. Intuição física: para cargas de mesmo sinal aproximá‑las (diminuir L) aumenta a energia potencial; o campo, nesse processo, realiza trabalho negativo — é preciso um agente externo fazer trabalho positivo para aproximá‑las.

Passo 8

Conclusão: a afirmativa dada é falsa porque o sinal do trabalho do campo depende do fator de escala f. Se f>1 o trabalho do campo é positivo; se f<1 é negativo; se f=1 é nulo.

Resposta

Falso

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