Considere uma bobinas circular compacta de raio R2, com N2 voltas, coaxial à outra bobina circular compacta, maior que a primeira, de raio R1, com N1 voltas e com uma corrente i1, ambas no mesmo plano.
(b) Qual o valor da indutância mútua se N1=N2=1200 voltas, R2=1,1 cm e R1=15 cm ?

Passo 1

Ok, vamos lá! Você me apresentou um exercício onde temos duas bobinas circulares compactas, uma menor (com raio $ R_2 = 1,1 $ cm) e outra maior (com raio $ R_1 = 15 $ cm), ambas com $ N_1 = N_2 = 1200 $ voltas. Ambas as bobinas estão coaxiais e no mesmo plano. O que precisamos encontrar é o valor da indutância mútua entre elas.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é indutância mútua e como calculá-la para duas bobinas circulares. Vamos usar a fórmula da indutância mútua que relaciona as propriedades das bobinas com a constante magnética do vácuo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é indutância mútua. Ela mede o quanto a corrente em uma bobina (a primeira) induz uma força eletromotriz na outra bobina (a segunda). A fórmula geral para a indutância mútua $ M $ entre duas bobinas é:
M
Onde:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade magnética do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , H/m $)
  • $ N_1 $ e $ N_2 $ são o número de voltas das bobinas
  • $ A $ é a área da bobina menor
  • $ d $ é a distância entre as bobinas (nesse caso, como elas são coaxiais e no mesmo plano, a distância efetiva é relacionada aos raios)

Passo 3

Vamos calcular a área $ A $ da bobina menor (com raio $ R_2 = 1,1 $ cm). A fórmula da área de um círculo é:
A
Convertendo o raio para metros:
R2 = 1,1
Então:
A = pi R^2

Passo 4

Agora, considerando que as bobinas estão no mesmo plano e são coaxiais, podemos simplificar a distância $ d $ como sendo a distância entre os centros das bobinas. Como elas são desenhadas no mesmo plano e concentricamente, a distância efetiva $ d $ pode ser considerada como zero para simplificação. Entretanto, para evitar uma divisão por zero, utilizamos uma aproximação onde consideramos a contribuição da área da bobina menor.
Portanto, a fórmula simplificada para a indutância mútua $ M $ fica:
d
Onde $ R_1 = 15 , cm = 0,15 , m $.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
M = 4pi times 10^-7 cdot 1200 cdot 1200 cdot 0,00038012 cdot 0,15
Vamos calcular passo a passo:
  1. Multiplicando os números de voltas e a área:
1200 cdot 1200 = 1.440.000
1.440.000 cdot 0,0003801 = 547,344
  1. Calculando o denominador:
2 cdot 0,15 = 0,3
  1. Aplicando a constante $ \mu_0 $:
mu0
M = 4pi times 10^-7 cdot 547,3440,3
M = 1.2566 times 10^-6 cdot 547,3440,3

Passo 6

Convertendo henrys para millihenrys (1 H = 1000 mH):
M approx 0,00229 , H = 2,29 , mH

Resposta

A indutância mútua entre as duas bobinas é aproximadamente 2,29 milihenrys (mH).

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