Considere uma bobinas circular compacta de raio
, com
voltas, coaxial à outra bobina circular compacta, maior que a primeira, de raio
, com
voltas e com uma corrente
, ambas no mesmo plano.
(b) Qual o valor da indutância mútua se
voltas,
e
?
(b) Qual o valor da indutância mútua se
Passo 1
Ok, vamos lá! Você me apresentou um exercício onde temos duas bobinas circulares compactas, uma menor (com raio $ R_2 = 1,1 $ cm) e outra maior (com raio $ R_1 = 15 $ cm), ambas com $ N_1 = N_2 = 1200 $ voltas. Ambas as bobinas estão coaxiais e no mesmo plano. O que precisamos encontrar é o valor da indutância mútua entre elas.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é indutância mútua e como calculá-la para duas bobinas circulares. Vamos usar a fórmula da indutância mútua que relaciona as propriedades das bobinas com a constante magnética do vácuo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é indutância mútua. Ela mede o quanto a corrente em uma bobina (a primeira) induz uma força eletromotriz na outra bobina (a segunda). A fórmula geral para a indutância mútua $ M $ entre duas bobinas é:
Onde:
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade magnética do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , H/m $)
- $ N_1 $ e $ N_2 $ são o número de voltas das bobinas
- $ A $ é a área da bobina menor
- $ d $ é a distância entre as bobinas (nesse caso, como elas são coaxiais e no mesmo plano, a distância efetiva é relacionada aos raios)
Passo 3
Vamos calcular a área $ A $ da bobina menor (com raio $ R_2 = 1,1 $ cm). A fórmula da área de um círculo é:
Convertendo o raio para metros:
Então:
Passo 4
Agora, considerando que as bobinas estão no mesmo plano e são coaxiais, podemos simplificar a distância $ d $ como sendo a distância entre os centros das bobinas. Como elas são desenhadas no mesmo plano e concentricamente, a distância efetiva $ d $ pode ser considerada como zero para simplificação. Entretanto, para evitar uma divisão por zero, utilizamos uma aproximação onde consideramos a contribuição da área da bobina menor.
Portanto, a fórmula simplificada para a indutância mútua $ M $ fica:
Onde $ R_1 = 15 , cm = 0,15 , m $.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Vamos calcular passo a passo:
- Multiplicando os números de voltas e a área:
- Calculando o denominador:
- Aplicando a constante $ \mu_0 $:
Passo 6
Convertendo henrys para millihenrys (1 H = 1000 mH):
Resposta
A indutância mútua entre as duas bobinas é aproximadamente 2,29 milihenrys (mH).