Considere o solido E acima do cone z=raiz3 x^2+3 y^2 e interior à esfera x^2+y^2+z^2=4.
(2,5) Escreva o volume de E como uma integral tripla iterada na ordem d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido E que é a parte da esfera x²+y²+z²=4 situada acima do cone z=√(3x²+3y²), usando integração tripla em ordem dz
dy
dx. Vamos precisar expressar os limites em z a partir das superfícies dadas e encontrar a região projetada no plano xy.

Passo 2

Para um ponto fixo (x,y), o z mínimo vem do cone, isto é z=√(3(x²+y²)), e o z máximo vem da esfera, isto é z=√(4−x²−y²)). Logo, o limite em z é
raiz3(x^2+y^2)<= z<= raiz4 - (x^2+y^2) .
Para determinar a região de (x,y), impomos que o limite inferior não ultrapasse o superior:
raiz3(x^2+y^2)<= raiz4 - (x^2+y^2)
Elevando ao quadrado:
3(x^2+y^2)<= 4 - (x^2+y^2)implies 4(x^2+y^2)<= 4implies x^2+y^2<=1
Então a projeção é o disco unitário.

Passo 3

Em coordenadas cartesianas, x varia de −1 a 1 e para cada x, y varia de −√(1−x²) a +√(1−x²). Montamos a integral tripla:
Começando em x, depois y e por fim z, o volume é
integralx=-1^1integraly=-raiz1-x^2^raiz1-x^2integralz=raiz3(x^2+y^2)^raiz4-(x^2+y^2) dz,dy,dx

Resposta

V=integralx=-1^1integraly=-raiz1-x^2^raiz1-x^2integralz=raiz3(x^2+y^2)^raiz4-(x^2+y^2)dz,dy,dx

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