Considere
solido
acima do cone
e interior à esfera
.
Escreva o volume de
como uma integral tripla iterada na ordem
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido E que é a parte da esfera x²+y²+z²=4 situada acima do cone z=√(3x²+3y²), usando integração tripla em ordem dz
dy
dx. Vamos precisar expressar os limites em z a partir das superfícies dadas e encontrar a região projetada no plano xy.
dy
dx. Vamos precisar expressar os limites em z a partir das superfícies dadas e encontrar a região projetada no plano xy.
Passo 2
Para um ponto fixo (x,y), o z mínimo vem do cone, isto é z=√(3(x²+y²)), e o z máximo vem da esfera, isto é z=√(4−x²−y²)). Logo, o limite em z é
Para determinar a região de (x,y), impomos que o limite inferior não ultrapasse o superior:
Elevando ao quadrado:
Então a projeção é o disco unitário.
Passo 3
Em coordenadas cartesianas, x varia de −1 a 1 e para cada x, y varia de −√(1−x²) a +√(1−x²). Montamos a integral tripla:
Começando em x, depois y e por fim z, o volume é
Começando em x, depois y e por fim z, o volume é