Considere a soma de coeficientes binomiais de mesma coluna no Triângulo de Pascal:
a) Identifique o padrão dessa soma e indique qual identidade combinatória pode ser utilizada para simplificá-la.
b) Aplique a identidade para calcular o valor da soma sem precisar efetuar todas as contas individualmente.
c) Verifique o resultado obtido comparando-o com o cálculo direto de cada termo.
b) Aplique a identidade para calcular o valor da soma sem precisar efetuar todas as contas individualmente.
c) Verifique o resultado obtido comparando-o com o cálculo direto de cada termo.
Passo 1
O enunciado pede três coisas com a soma
Perguntas específicas:
a) Identificar o padrão dessa soma e indicar qual identidade combinatória pode ser usada para simplificá-la.
b) Aplicar a identidade para calcular o valor da soma sem calcular cada termo isoladamente.
c) Verificar o resultado obtido comparando com o cálculo direto de cada termo.
a) Identificar o padrão dessa soma e indicar qual identidade combinatória pode ser usada para simplificá-la.
b) Aplicar a identidade para calcular o valor da soma sem calcular cada termo isoladamente.
c) Verificar o resultado obtido comparando com o cálculo direto de cada termo.
Informações dadas e relevantes:
- Todos os termos são coeficientes binomiais com o mesmo inferior
(ou seja, mesma “coluna” do Triângulo de Pascal). - Os numeradores aumentam de
até . - Não há outras restrições; a soma é exatamente os quatro termos mostrados.
Passo 2
Identificando o padrão e escolhendo a identidade: todos os termos são da forma
com
. Existe uma identidade clássica que soma coeficientes binomiais numa coluna do Triângulo de Pascal (às vezes chamada de “identidade do bastão” ou “hockey-stick identity”): para inteiros
e
com
,
Vou usar essa identidade porque ela diz exatamente como somar termos do tipo
para
variando numa progressão — é a aplicação direta do padrão que temos.
Explicação rápida (álgebra/telescópio) dessa identidade para você entender e poder usar na prova:
- Pela identidade de Pascal temos, para todo
,
- Reescrevendo,
- Somando essa igualdade para
obtemos um telescópio:
- Os termos internos se cancelam em cadeia, sobrando apenas o primeiro e o último:
- Como
(não se pode escolher elementos de um conjunto com apenas elementos), conclui-se
Pronto — essa é a identidade usada. A ideia combinatória (se preferir) é interpretar ambos os lados como o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto de
elementos, classificadas pelo maior elemento escolhido; mas a demonstração telescópica é prática e fácil de lembrar na prova.
Passo 3
Aplicando a identidade ao nosso caso: aqui
e
. Logo
Agora calculamos
. Pelo fatoral,
Fazendo a simplificação manual sem escrever todos os fatoriais:
Calculando passo a passo:
-
. - Então
.
Portanto a soma pelo uso da identidade é.
Passo 4
Agora faço a verificação calculando cada termo isoladamente (modo direto) para confirmar:
-
(só há uma maneira de escolher todos os 3 de 3). -
. -
. -
.
Somando os valores diretos:
Passo 5
Conclusão da verificação: o resultado obtido usando a identidade
coincide com a soma direta dos termos calculados um a um,
. Então a identidade foi aplicada corretamente e economizou trabalho.
Resposta
(a) A identidade é
(hockey-stick).
(b) Aplicando com e
:
(c) Cálculo direto: que confirma o resultado.
(b) Aplicando com
(c) Cálculo direto: