Considere a soma de coeficientes binomiais de mesma coluna no Triângulo de Pascal:
\binom{3}{3}+\binom{4}{3}+\binom{5}{3}+\binom{6}{3}
a) Identifique o padrão dessa soma e indique qual identidade combinatória pode ser utilizada para simplificá-la.
b) Aplique a identidade para calcular o valor da soma sem precisar efetuar todas as contas individualmente.
c) Verifique o resultado obtido comparando-o com o cálculo direto de cada termo.

Passo 1

O enunciado pede três coisas com a soma
\binom{3}{3}+\binom{4}{3}+\binom{5}{3}+\binom{6}{3}.
Perguntas específicas:
a) Identificar o padrão dessa soma e indicar qual identidade combinatória pode ser usada para simplificá-la.
b) Aplicar a identidade para calcular o valor da soma sem calcular cada termo isoladamente.
c) Verificar o resultado obtido comparando com o cálculo direto de cada termo.
Informações dadas e relevantes:
  • Todos os termos são coeficientes binomiais com o mesmo inferior 3 (ou seja, mesma “coluna” do Triângulo de Pascal).
  • Os numeradores aumentam de 3 até 6.
  • Não há outras restrições; a soma é exatamente os quatro termos mostrados.

Passo 2

Identificando o padrão e escolhendo a identidade: todos os termos são da forma \binom{i}{3} com i=3,4,5,6. Existe uma identidade clássica que soma coeficientes binomiais numa coluna do Triângulo de Pascal (às vezes chamada de “identidade do bastão” ou “hockey-stick identity”): para inteiros r e n com n\ge r,
\sum_{i=r}^{n} \binom{i}{r} = \binom{n+1}{r+1}.
Vou usar essa identidade porque ela diz exatamente como somar termos do tipo \binom{i}{r} para i variando numa progressão — é a aplicação direta do padrão que temos.
Explicação rápida (álgebra/telescópio) dessa identidade para você entender e poder usar na prova:
  • Pela identidade de Pascal temos, para todo i,
\binom{i+1}{r+1} = \binom{i}{r+1} + \binom{i}{r}.
  • Reescrevendo,
\binom{i}{r} = \binom{i+1}{r+1} - \binom{i}{r+1}.
  • Somando essa igualdade para i=r,r+1,\dots,n obtemos um telescópio:
\sum_{i=r}^{n} \binom{i}{r} = \sum_{i=r}^{n} \big(\binom{i+1}{r+1} - \binom{i}{r+1}\big).
  • Os termos internos se cancelam em cadeia, sobrando apenas o primeiro e o último:
\sum_{i=r}^{n} \binom{i}{r} = \binom{n+1}{r+1} - \binom{r}{r+1}.
  • Como \binom{r}{r+1}=0 (não se pode escolher r+1 elementos de um conjunto com apenas r elementos), conclui-se
\sum_{i=r}^{n} \binom{i}{r} = \binom{n+1}{r+1}.
Pronto — essa é a identidade usada. A ideia combinatória (se preferir) é interpretar ambos os lados como o número de maneiras de escolher r+1 elementos de um conjunto de n+1 elementos, classificadas pelo maior elemento escolhido; mas a demonstração telescópica é prática e fácil de lembrar na prova.

Passo 3

Aplicando a identidade ao nosso caso: aqui r=3 e n=6. Logo
\binom{3}{3}+\binom{4}{3}+\binom{5}{3}+\binom{6}{3} = \sum_{i=3}^{6} \binom{i}{3} = \binom{6+1}{3+1} = \binom{7}{4}.
Agora calculamos \binom{7}{4}. Pelo fatoral,
\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!\,3!}.
Fazendo a simplificação manual sem escrever todos os fatoriais:
\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot(3\cdot2\cdot1)} = \frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}.
Calculando passo a passo:
  • 3\cdot2\cdot1 = 6.
  • Então \dfrac{7\cdot6\cdot5}{6} = 7\cdot5 = 35.
    Portanto a soma pelo uso da identidade é \mathbf{35}.

Passo 4

Agora faço a verificação calculando cada termo isoladamente (modo direto) para confirmar:
  • \displaystyle \binom{3}{3} = 1 (só há uma maneira de escolher todos os 3 de 3).
  • \displaystyle \binom{4}{3} = \frac{4!}{3!\,1!} = 4.
  • \displaystyle \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!\,2!} = \frac{5\cdot4}{2\cdot1} = 10.
  • \displaystyle \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!\,3!} = \frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1} = 20.
Somando os valores diretos:
1 + 4 + 10 + 20 = 35.

Passo 5

Conclusão da verificação: o resultado obtido usando a identidade \binom{7}{4}=35 coincide com a soma direta dos termos calculados um a um, 35. Então a identidade foi aplicada corretamente e economizou trabalho.

Resposta

(a) A identidade é \displaystyle \sum_{i=r}^{n}\binom{i}{r}=\binom{n+1}{r+1} (hockey-stick).
(b) Aplicando com r=3 e n=6: \displaystyle \binom{3}{3}+\binom{4}{3}+\binom{5}{3}+\binom{6}{3}=\binom{7}{4}=35.
(c) Cálculo direto: \displaystyle 1+4+10+20=35, que confirma o resultado.

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