Considere o desenvolvimento multinomial de
\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m}\right)^{n}=\sum_{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{m}=n} \frac{n!}{k_{1}!k_{2}!\ldots k_{m}!} x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \ldots x_{m}^{k_{m}} .
(a) Mostre que a soma de todos os coeficientes desse polinômio é igual a m^{n}.
(b) Demonstre o Teorema Multinomial usando indução matemática sobre o número de termos m. Em particular, detalhe o passo indutivo que prova a validade do teorema para m+1 termos, assumindo que ele é válido para m termos.

Passo 1

O enunciado nos dá o desenvolvimento multinomial
\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m}\right)^{n}=\sum_{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{m}=n} \frac{n!}{k_{1}!k_{2}!\ldots k_{m}!} x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \ldots x_{m}^{k_{m}} .
As perguntas são duas:
(a) Mostrar que a soma de todos os coeficientes desse polinômio é igual a \;m^{n}.
(b) Demonstrar o Teorema Multinomial por indução sobre o número de termos m, detalhando o passo indutivo que prova o caso m+1 assumindo o caso m.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{(i) A forma geral do desenvolvimento multinomial com coeficientes } \frac{n!}{k_{1}!\cdots k_{m}!},
\text{(ii) A condição de soma }k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{m}=n.çã
A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Antes de atacar as partes pedidas, vou explicar o que é o coeficiente multinomial e por que ele aparece aí — isso ajuda a entender tanto (a) quanto (b).
Definição e interpretação:
\text{o coeficiente } \frac{n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}
é o número de maneiras de distribuir n posições (ou objetos distintos) em m caixas, colocando exatamente k_{1} na caixa 1, k_{2} na caixa 2, …, k_{m} na caixa m, quando a ordem dentro das caixas não importa. Aqui n! é o número de permutações de n objetos distintos e dividir por cada k_{i}! corrige o excesso de contagem por permutar itens idênticos dentro da mesma caixa.
Exemplo simples para fixar a ideia: para m=3 e n=2, se k_{1}=1,k_{2}=1,k_{3}=0, o coeficiente é
\frac{2!}{1!\,1!\,0!}=2,
o que corresponde às duas sequências possíveis que têm uma ocorrência do símbolo 1 e uma ocorrência do símbolo 2 (por exemplo, as sequências (1,2) e (2,1)).

Passo 3

Resolução da parte (a) — método da substituição (fácil e direto).
Observação fundamental: a soma de todos os coeficientes de um polinômio em várias variáveis é o valor do polinômio quando cada variável vale 1. Isso porque cada termo \frac{n!}{k_{1}!\cdots k_{m}!}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{m}^{k_{m}} ao substituir x_{i}=1 vira apenas o coeficiente \frac{n!}{k_{1}!\cdots k_{m}!}.
Portanto, substituímos x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{m}=1 em \left(x_{1}+\cdots+x_{m}\right)^{n}:
\left(1+1+\cdots+1\right)^{n}=m^{n}.
No lado direito da igualdade multinomial cada termo se torna seu coeficiente, então a soma de todos os coeficientes é exatamente m^{n}. Isso resolve (a).
Comentário combinatorial alternativo (mesma ideia por outro ângulo): m^{n} conta o número de sequências de comprimento n onde cada posição escolhe um dos m símbolos. Agrupando essas sequências pelo número de vezes que aparece cada símbolo (isto é, pelo vetor (k_{1},\dots,k_{m}) com soma n), o número de sequências daquele tipo é exatamente \frac{n!}{k_{1}!\cdots k_{m}!}. Somando sobre todas as composições (k_{1},\dots,k_{m}) obtemos m^{n}. Mesma conclusão.

Passo 4

Começo da demonstração por indução para a parte (b).
Primeiro, explico o que vou provar por indução: para todo inteiro m\ge 1 e todo n\ge 0,
\left(x_{1}+\cdots+x_{m}\right)^{n}=\sum_{k_{1}+\cdots+k_{m}=n}\frac{n!}{k_{1}!\cdots k_{m}!}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{m}^{k_{m}}.
Base da indução:
  • Para m=1 a afirmação é trivial, porque \left(x_{1}\right)^{n}=x_{1}^{n} e a soma tem só o termo k_{1}=n com coeficiente \frac{n!}{n!}=1.
  • Para m=2 temos o Teorema Binomial (conhecido): \left(x_{1}+x_{2}\right)^{n}=\sum_{k_{1}+k_{2}=n}\binom{n}{k_{1}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}} e note que \binom{n}{k_{1}}=\frac{n!}{k_{1}!\,k_{2}!}. Se você quiser, pode considerar m=2 como a base não trivial (mas m=1 já é suficiente como base formal); aqui fica claro que a afirmação é verdadeira para pequenos m.

Passo 5

Hipótese indutiva: suponha que a fórmula seja verdadeira para algum m\ge 1; ou seja, suponha que para todo n\ge 0
\left(x_{1}+\cdots+x_{m}\right)^{n}=\sum_{k_{1}+\cdots+k_{m}=n}\frac{n!}{k_{1}!\cdots k_{m}!}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{m}^{k_{m}}.
Vou provar que então a fórmula vale para m+1 variáveis, ou seja, que para todo n\ge 0
\left(x_{1}+\cdots+x_{m}+x_{m+1}\right)^{n}=\sum_{k_{1}+\cdots+k_{m+1}=n}\frac{n!}{k_{1}!\cdots k_{m+1}!}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{m+1}^{k_{m+1}}.

Passo 6

Aplicação do Teorema Binomial no passo indutivo.
Escrevemos
\left(x_{1}+\cdots+x_{m}+x_{m+1}\right)^{n}=\left(\underbrace{x_{1}+\cdots+x_{m}}_{:=S}+x_{m+1}\right)^{n}.
Pelo Teorema Binomial (válido para quaisquer quantidades S e x_{m+1}),
\left(S+x_{m+1}\right)^{n}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r} S^{r} x_{m+1}^{\,n-r}.
Aqui \binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}. Esta é uma expansão em que cada termo tem uma potência S^{r} multiplicada por x_{m+1}^{\,n-r}.

Passo 7

Aplicamos agora a hipótese indutiva para cada S^{r}=(x_{1}+\cdots+x_{m})^{r} com r fixo. Pela hipótese indutiva,
S^{r}=\sum_{k_{1}+\cdots+k_{m}=r}\frac{r!}{k_{1}!\cdots k_{m}!}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{m}^{k_{m}}.
Substituindo essa expressão na soma binomial obtemos
\left(S+x_{m+1}\right)^{n}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}\left(\sum_{k_{1}+\cdots+k_{m}=r}\frac{r!}{k_{1}!\cdots k_{m}!}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{m}^{k_{m}}\right)x_{m+1}^{\,n-r}.

Passo 8

Agora reorganizamos a soma: expandimos o produto e obtemos uma soma dupla sobre r e sobre as tuplas (k_{1},\dots,k_{m}) com soma r:
\left(S+x_{m+1}\right)^{n}=\sum_{r=0}^{n}\sum_{k_{1}+\cdots+k_{m}=r}\binom{n}{r}\frac{r!}{k_{1}!\cdots k_{m}!}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{\,n-r}.
Para cada termo fixo com dados r e (k_{1},\dots,k_{m}) defina k_{m+1}=n-r. Note que assim
k_{1}+\cdots+k_{m}+k_{m+1}=r+(n-r)=n,
ou seja, cada termo corresponde a um vetor (k_{1},\dots,k_{m},k_{m+1}) de somatório n.
O coeficiente multiplicador desse termo é
\binom{n}{r}\frac{r!}{k_{1}!\cdots k_{m}!}.
Vamos simplificá-lo usando \binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}:
\binom{n}{r}\frac{r!}{k_{1}!\cdots k_{m}!} =\frac{n!}{r!(n-r)!}\cdot\frac{r!}{k_{1}!\cdots k_{m}!} =\frac{n!}{k_{1}!\cdots k_{m}!\,(n-r)!}.
Como k_{m+1}=n-r, isto é exatamente
\frac{n!}{k_{1}!\cdots k_{m}!\,k_{m+1}!}.

Passo 9

Portanto cada termo na soma dupla pode ser reescrito como
\frac{n!}{k_{1}!\cdots k_{m}!\,k_{m+1}!}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}},
onde k_{1}+\cdots+k_{m+1}=n. Ao variar r de 0 a n e todas as tuplas (k_{1},\dots,k_{m}) com soma r cobrimos exatamente todas as tuplas (k_{1},\dots,k_{m+1}) de soma n — cada tupla aparece uma vez e somente uma vez nessa contagem. Assim a soma dupla se reduz a uma única soma sobre todas as tuplas de m+1 índices somando n:
\left(x_{1}+\cdots+x_{m}+x_{m+1}\right)^{n} =\sum_{k_{1}+\cdots+k_{m+1}=n}\frac{n!}{k_{1}!\cdots k_{m+1}!}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{m+1}^{k_{m+1}}.
Isto prova o passo indutivo.

Passo 10

Conclusão da indução: como a fórmula é verdadeira para m=1 (base) e mostramos que se vale para m então vale para m+1 (passo indutivo), por princípio da indução a fórmula vale para todo m\in\mathbb{N}. Ou seja, o Teorema Multinomial foi demonstrado por indução sobre m.
Pequena recapitulação didática final: a estratégia principal foi reescrever o polinômio com m+1 termos como (S+x_{m+1})^{n}, usar o binômio para separar potências de S e x_{m+1}, e então aplicar a hipótese indutiva para expandir S^{r}. A simplificação dos coeficientes usa apenas a identidade \binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!} e a definição dos coeficientes multinomiais.
Força aí — essa prova é bem padrão: a ideia é separar um termo, usar binômio e aplicar o caso com menos variáveis.

Resposta

(a) m^{n}.
(b) Para todo m\ge1 e todo n\ge0,
\left(x_{1}+\cdots+x_{m}\right)^{n}=\sum_{k_{1}+\cdots+k_{m}=n}\frac{n!}{k_{1}!\cdots k_{m}!}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{m}^{k_{m}},
e a prova por indução sobre m foi apresentada nos passos anteriores.

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