Considere um spinner aleatório sobre um círculo de raio 1 dividido em 37 zonas numeradas de 1 a 37 . Um modelo matemático adequado para este spinner aleatório é o espaço de probabilidade uniforme sobre a circunferência do círculo de raio 1 , de modo que a probabilidade de que o ponteiro do spinner pare sobre um arco de comprimento s é s2 pi. Determine a probabilidade de que o ponteiro para sobre uma zona de número par.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um spinner em um círculo de raio 1 dividido em 37 zonas iguais (numeradas de 1 a 37). Como o modelo é uniforme na circunferência, a probabilidade de cair em um arco de comprimento vale . A questão pede: qual a probabilidade de o ponteiro parar numa zona com número par?
Conteúdo: probabilidade geométrica (uniforme em arco). Vamos precisar contar quantas zonas são pares e relacionar o comprimento total dessas zonas com o comprimento da circunferência.

Passo 2

Primeiro, qual é o comprimento de cada zona?
  • A circunferência inteira tem comprimento 2pi37 .
  • São 37 zonas iguais, então cada zona tem comprimento
quantidade de pares = 18
Agora, quantas zonas têm número par? Como os números vão de 1 a 37, temos os pares: 2, 4, 6, …, 36. Para saber quantos são, basta notar que de 1 a 37 tem 37 números e, em geral, metade deles são pares (arredondando para baixo):

Passo 3

Sabendo que cada zona par tem arco de comprimento 18 times 2pi37 e que são 18 zonas assim, o comprimento total das zonas pares é
P(par) = 18 times tfrac2pi372pi = 1837
Como a distribuição é uniforme, a probabilidade de cair em qualquer conjunto de arcos é o comprimento desse conjunto dividido por . Então

Resposta

boxed1837

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