Considere os subconjuntos dos respectivos espaços dados abaixo. Descubra qual deles é base. Se não for base, diga o motivo. Qual é a dimensão dos subespaços gerados?
\left\{\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ -1 & 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right)\right\} \subset M_{2 \times 2}.

Passo 1

O enunciado apresenta o conjunto
S=\Bigl\{A_1=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix},\;A_2=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\;A_3=\begin{pmatrix}1&2\\\ -1&2\end{pmatrix},\;A_4=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix}\Bigr\}\subset M_{2\times2}.
Queremos verificar se S é base de M_{2\times2}. Como \dim M_{2\times2}=4, para ser base precisamos de 4 vetores (matrizes) linearmente independentes que gerem todo o espaço. Então vamos checar a independência linear de A_1,A_2,A_3,A_4.

Passo 2

Para testar independência, escrevemos
\alpha_1A_1+\alpha_2A_2+\alpha_3A_3+\alpha_4A_4=0
e igualamos entradas. Seja a ordem de vetorização (a,b,c,d)\) correspondendo a \(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\). Então \[A_1=(0,0,1,1),\; A_2=(1,1,0,0),\; A_3=(1,2,-1,2),\; A_4=(1,1,1,1).
As equações são:
\begin{cases} \alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=0,\\\ \alpha_2+2\alpha_3+\alpha_4=0,\\\ \alpha_1-\alpha_3+\alpha_4=0,\\\ \alpha_1+2\alpha_3+\alpha_4=0. \end{cases}
Da primeira e segunda obtém-se \alpha_3=0\] e \(\alpha_2=-\alpha_4. Das duas últimas segue \alpha_1=-\alpha_4. Logo há infinitas soluções com parâmetro \alpha_4, por exemplo
-\!A_1-\!A_2+ A_4=0 \quad\Longrightarrow\quad A_4=A_1+A_2,
o que mostra dependência linear de S.

Passo 3

Como S é linearmente dependente, não pode ser base de M_{2\times2}. Entretanto, o subespaço gerado por S tem dimensão igual ao número máximo de matrizes independentes que encontramos, que é 3. Por exemplo,
\{A_1,A_2,A_3\} é um conjunto de 3 matrizes linearmente independentes em S, logo forma uma base do subespaço gerado por S.

Resposta

Não é base de M_{2\times2} pois é linearmente dependente (ex.: A_4=A_1+A_2). O subespaço gerado por S tem dimensão 3.

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