Considere os subconjuntos dos respectivos espaços dados abaixo. Descubra qual deles é base. Se não for base, diga o motivo. Qual é a dimensão dos subespaços gerados? \{(1,0,1),(2,1,1),(3,2,1),(4,1,1)\} \subset \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
S = \{\,v_1=(1,0,1),\;v_2=(2,1,1),\;v_3=(3,2,1),\;v_4=(4,1,1)\}\subset\mathbb{R}^3
E pede: é base de \mathbb{R}^3? Se não, por quê? Qual a dimensão de \mathrm{span}(S)?
Passo 2
Em \mathbb{R}^3 qualquer conjunto com mais de 3 vetores é necessariamente linearmente dependente. Como |S|=4>3, concluímos que Snão é linearmente independente e, portanto, não é base de \mathbb{R}^3.
Como o determinante é não nulo, S' é independente e gera \mathbb{R}^3.
Resposta
O conjunto Snão é base de \mathbb{R}^3 pois é linearmente dependente (tem 4 vetores em \mathbb{R}^3).
A dimensão do subespaço gerado por S é \dim(\mathrm{span}(S))=3.