Considere os subconjuntos dos respectivos espaços dados abaixo. Descubra qual deles é base. Se não for base, diga o motivo. Qual é a dimensão dos subespaços gerados?
\{(1,0,1),(2,1,1),(3,2,1),(4,1,1)\} \subset \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = \{\,v_1=(1,0,1),\;v_2=(2,1,1),\;v_3=(3,2,1),\;v_4=(4,1,1)\}\subset\mathbb{R}^3
E pede: é base de \mathbb{R}^3? Se não, por quê? Qual a dimensão de \mathrm{span}(S)?

Passo 2

Em \mathbb{R}^3 qualquer conjunto com mais de 3 vetores é necessariamente linearmente dependente. Como |S|=4>3, concluímos que S não é linearmente independente e, portanto, não é base de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para ver a dependência explicitamente, note que
-\,v_1 + 2\,v_2 = -(1,0,1) +2\,(2,1,1) = ( -1+4,\;0+2,\;-1+2) = (3,2,1) = v_3.
Logo v_3 é combinação linear de v_1 e v_2.

Passo 4

Para achar \dim\bigl(\mathrm{span}(S)\bigr) basta extrair um subtipo independente. Tomemos
S'=\{\,v_1,\;v_2,\;v_4\}.
Formemos a matriz cujas linhas são esses vetores e calculemos o determinante:
\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix} =1\cdot(1\cdot1-1\cdot1)-0+\;1\cdot(2\cdot1-1\cdot4) =0 + (2-4)= -2\neq0.
Como o determinante é não nulo, S' é independente e gera \mathbb{R}^3.

Resposta

O conjunto S não é base de \mathbb{R}^3 pois é linearmente dependente (tem 4 vetores em \mathbb{R}^3).
A dimensão do subespaço gerado por S é \dim(\mathrm{span}(S))=3.

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