Considere o subespaço vetorial
para todo
. Existe alguma progressão geométrica
? Qual a dimensão de
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! A gente tem um subespaço vetorial chamado
, que é definido por sequências infinitas de números reais onde cada termo a partir do terceiro é a soma dos dois anteriores. A pergunta quer saber se existe alguma progressão geométrica do tipo
que pertence a esse subespaço
. Além disso, precisamos descobrir qual é a dimensão de
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear e resolver uma equação quadrática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é o subespaço
. Ele é composto por todas as sequências infinitas de números reais
que satisfazem a relação:
Isso significa que, a partir do terceiro termo, cada número na sequência é a soma dos dois anteriores.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é uma progressão geométrica. É uma sequência onde cada termo é multiplicado por uma constante
para obter o próximo termo. No caso, a progressão geométrica dada é
.
Passo 4
Queremos saber se essa progressão geométrica está dentro de
. Para isso, precisamos verificar se ela satisfaz a condição que define
. Ou seja, para todo
:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação. Dividindo ambos os lados por
(que é diferente de zero se
), temos:
Assim, a condição para que a progressão geométrica esteja em
é que
satisfaça a equação quadrática:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os possíveis valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, existem dois valores de
:
Passo 7
Com esses valores de
, temos duas progressões geométricas que pertencem a
:
Passo 8
Agora, vamos determinar a dimensão de
. O subespaço
é definido por uma relação linear de segunda ordem, ou seja, a partir dos dois primeiros termos, todos os demais são determinados. Isso significa que
é gerado por dois vetores independentes, correspondentes às duas soluções da equação quadrática que encontramos para
.
Resposta
Sim, existem duas progressões geométricas da forma
e
que pertencem a
. A dimensão de
é 2.