Considere U=(x, y, z) in R^3 mid 3 x-2 y+z=0 e W=(x, y, z) in R^3 mid 2 x+y-4 z=0. Determine as dimensões de U+W e U cap W.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado nos dá dois conjuntos e no espaço tridimensional , definidos por duas equações lineares:
Precisamos determinar as dimensões de e . Para isso, vamos usar conceitos de subespaços vetoriais, soma de subespaços e interseção de subespaços. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a dimensão de um subespaço é o número de vetores que formam uma base para ele. Como e são definidos por uma única equação cada, eles são planos em e, portanto, cada um tem dimensão 2.

Passo 3

Agora, vamos determinar dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W) , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de . A dimensão de pode ser encontrada usando a fórmula:
Sabemos que e . Para encontrar , precisamos descobrir .

Passo 4

Vamos encontrar 3x - 2y + z = 0 2x + y - 4z = 0 , que é o conjunto de vetores que pertencem tanto a quanto a . Isso significa que queremos encontrar os valores de , e que satisfazem simultaneamente as duas equações:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar as soluções.

Passo 5

Multiplicamos a segunda equação por 2 para facilitar a eliminação de uma variável:
3x - 2y + z = 0 4x + 2y - 8z = 0
Agora, somamos as duas equações:
(3x - 2y + z) + (4x + 2y - 8z) = 0 + 0 7x - 7z = 0 7x = 7z x = z

Passo 6

Substituímos 3z - 2y + z = 0 4z - 2y = 0 -2y = -4z y = 2z na primeira equação:

Passo 7

Então, as soluções do sistema são dadas por:
x = z y = 2z z = z
Podemos escrever o vetor solução como:
(z, 2z, z) = z(1, 2, 1)
Isso significa que é a linha gerada pelo vetor , ou seja, é uma reta em com dimensão 1.

Passo 8

Agora que sabemos que dim(U + W) = 2 + 2 - 1 = 3 , podemos usar a fórmula que mencionamos anteriormente para encontrar :
Isso significa que é o espaço tridimensional completo , com dimensão 3.

Resposta

A dimensão de é 3 e a dimensão de é 1.

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