Considere o subespaço
de
, munido com produto interno usual, gerado pelos vetores
e
. A respeito de
assinale a única alternativa correta. Justifique sua resposta.
a)
tem dimensão 3 ;
b)
tem dimensão 1 ;
c)
é uma base ortogonal de
;
d)
é uma base ortonormal de
;
e) nenhuma das anteriores está correta.
a)
b)
c)
d)
e) nenhuma das anteriores está correta.
Passo 1
O enunciado define o subespaço
gerado por
e pede para identificar qual das afirmações sobre dimensão, ortogonalidade e ortonormalidade está correta. Vamos precisar de noções de independência linear, complementar ortogonal e cálculo de produto interno e norma no espaço euclidiano.
Passo 2
Verificamos se
é combinação linear de
e
. De fato,
Logo
é dependente de
e
, pois basta
.
Passo 3
Como em
vale
, segue
Passo 4
Para ver se
é ortogonal, calculamos
Logo não são mutuamente ortogonais, muito menos uma base ortogonal de
.
Passo 5
Consideramos os vetores
e
. Em primeiro lugar,
portanto
e como são independentes geram um subespaço de dimensão 2, que coincide com
. Contudo,
logo eles não têm norma unitária e, embora ortogonais, não formam base ortonormal.
Resposta
e) nenhuma das anteriores está correta.