Considere o subespaço W de \mathbb{R}^{4}, munido com produto interno usual, gerado pelos vetores \mathbf{v}_{1}=(1,-1,0,0), \mathbf{v}_{2}= (0,0,1,1) e \mathbf{v}_{3}=(-2,2,1,1). A respeito de W assinale a única alternativa correta. Justifique sua resposta.
a) W tem dimensão 3 ;
b) W^{\perp} tem dimensão 1 ;
c) \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} é uma base ortogonal de W;
d) \{(1,1,0,0),(0,0,-1,1)\} é uma base ortonormal de W^{\perp};
e) nenhuma das anteriores está correta.

Passo 1

O enunciado define o subespaço W\subset\mathbb{R}^4 gerado por
\mathbf{v}_{1}=(1,-1,0,0),\quad \mathbf{v}_{2}=(0,0,1,1),\quad \mathbf{v}_{3}=(-2,2,1,1),
e pede para identificar qual das afirmações sobre dimensão, ortogonalidade e ortonormalidade está correta. Vamos precisar de noções de independência linear, complementar ortogonal e cálculo de produto interno e norma no espaço euclidiano.

Passo 2

Verificamos se \mathbf{v}_{3} é combinação linear de \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2}. De fato,
-2\,\mathbf{v}_{1} + 1\cdot \mathbf{v}_{2} = -2\,(1,-1,0,0) + (0,0,1,1) = (-2,2,1,1) = \mathbf{v}_{3}.
Logo \mathbf{v}_3 é dependente de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 e \dim W = 2, pois basta \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}.

Passo 3

Como em \mathbb{R}^4 vale \dim W + \dim W^{\perp} = 4, segue
\dim W^{\perp} = 4 - \dim W = 4 - 2 = 2.

Passo 4

Para ver se \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\} é ortogonal, calculamos
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_3 = 1\cdot(-2) + (-1)\cdot2 + 0\cdot1 + 0\cdot1 = -4\neq0.
Logo não são mutuamente ortogonais, muito menos uma base ortogonal de W.

Passo 5

Consideramos os vetores \mathbf{u}_1=(1,1,0,0) e \mathbf{u}_2=(0,0,-1,1). Em primeiro lugar,
\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{v}_i =0,\quad \mathbf{u}_2\cdot\mathbf{v}_i=0 \quad(i=1,2),
portanto \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\in W^{\perp} e como são independentes geram um subespaço de dimensão 2, que coincide com W^{\perp}. Contudo,
\|\mathbf{u}_1\| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2},\quad \|\mathbf{u}_2\| = \sqrt{(-1)^2+1^2} = \sqrt{2},
logo eles não têm norma unitária e, embora ortogonais, não formam base ortonormal.

Resposta

e) nenhuma das anteriores está correta.

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