Seja V=M(2,2) o espaço vetorial real das matrizes 2 \times 2.
a) Mostre que H=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \in V ; a-b=0, c+d=0\right\} é subespaço vetorial de V.
b) Seja S=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \in V ; a+b+c-d=0\right\} subespaço de V. Mostre que H+S=V. Esta soma é direta? Justifique.
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço vetorial real V = M(2,2) das matrizes 2\times2.
a) Definimos
H = \Bigl\{\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in V \;\Bigm|\; a - b = 0,\; c + d = 0\Bigr\},
e precisamos mostrar que H é subespaço de V.
b) Definimos
S = \Bigl\{\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in V \;\Bigm|\; a + b + c - d = 0\Bigr\}
e devemos provar que H+S = V e verificar se essa soma é direta.
Passo 2
Para mostrar que H é subespaço de V checamos três propriedades:
A matriz zero \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix} satisfaz 0-0=0 e 0+0=0, logo está em H.
Se X=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} e X'=\begin{pmatrix}a'&b'\c'&d'\end{pmatrix} estão em H, então a=b,\\ d=-c e a'=b',\\ d'=-c'. Ao somar, (a+a')-(b+b')=(a-b)+(a'-b')=0
e (c+c')+(d+d')=(c+d)+(c'+d')=0,
logo X+X'\in H.
Para \lambda\in\mathbb{R}, se X\in H então \lambda a - \lambda b = \lambda(a-b)=0 e \lambda c + \lambda d = \lambda(c+d)=0, logo \lambda X\in H.
Portanto H é subespaço de V.
Passo 3
Parametrizamos H. As condições a=b e c+d=0 dão
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & a\\\ c & -c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&-1\end{pmatrix}.
Logo \dim H=2.
Passo 4
Analogamente, para S verificamos:
A matriz zero satisfaz 0+0+0-0=0.
Se Y,Y'\in S então (a+b+c-d)+(a'+b'+c'-d')=0, logo Y+Y'\in S.
Para escalar mantém-se a igualdade homogênea.
Assim S é subespaço de V com a condição linear a+b+c-d=0, logo \dim S = 4-1 = 3.
Passo 5
Para calcular H\cap S resolvemos simultaneamente
a=b,\quad d=-c,\quad a+b+c-d=0.
Substituindo b=a e d=-c na última:
a+a+c-(-c)=2a+2c=0\quad\Longrightarrow\quad c=-a.
Então
H\cap S =\Bigl\{\begin{pmatrix}a&a\\\ -a&a\end{pmatrix}\Bigr\},
que é gerado por \begin{pmatrix}1&1\\\ -1&1\end{pmatrix}, logo \dim(H\cap S)=1.
Passo 6
Pelo Teorema da dimensão (Fórmula de Grassmann)
\dim(H+S)=\dim H + \dim S - \dim(H\cap S) =2+3-1=4.
Como \dim V=4, segue H+S=V.
Passo 7
A soma é direta se e somente se H\cap S = \{0\}. Aqui \dim(H\cap S)=1, ou seja, existe matriz não-nula em H\cap S. Logo a soma não é direta.
Resposta
a) H é subespaço de V.
b) H+S=V e a soma não é direta.