Considere a sucessão de Fibonacci, definida por recorrência,
& F0=0 & F1=1 & Fn=Fn-1+Fn-2, n >= 2
Mostre, usuando indução, que
Fn+1 Fn-1-Fn^2=(-1)^n, forall n >= 1

Passo 1

Estamos lidando com a sequência de Fibonacci, definida por recorrência:
F0&=0, F1&=1, Fn&=Fn-1+Fn-2, n>=2
O que queremos provar por indução é a identidade
Fn+1Fn-1-Fn^2=(-1)^n,forall n>=1

Passo 2

Base da indução: para n=1. Calculamos
F2F0-F1^2=1cdot0-1^2=-1
e isso coincide com (-1)^1=-1. Logo, a base está válida.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para um k>=1 seja verdade
Fk+1Fk-1-Fk^2=(-1)^k
Devemos mostrar que
Fk+2Fk-Fk+1^2=(-1)^k+1

Passo 4

Usando a relação de recorrência Fk+2=Fk+1+Fk, desenvolvemos:
Fk+2Fk-Fk+1^2=(Fk+1+Fk)Fk-Fk+1^2 =Fk+1Fk+Fk^2-Fk+1^2
Note que Fk+1Fk+Fk^2-Fk+1^2=Fk^2-Fk+1(Fk+1-Fk) e como Fk+1-Fk=Fk-1 temos
Fk+2Fk-Fk+1^2=Fk^2-Fk+1Fk-1 = -l(Fk+1Fk-1-Fk^2r)
Pela hipótese indutiva essa expressão vale (-(-1)^{k}) = (-1)^{k+1}.

Passo 5

Concluímos, portanto, que se a identidade vale para n=k então vale para n=k+1. Como a base e o passo indutivo estão estabelecidos, a fórmula é verdadeira para todo n>=1.

Resposta

Fn+1Fn-1-Fn^2=(-1)^n,forall n>=1

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