才 4) (1,0) Considere a superfície z^{2}=8-3 x^{2}-y^{2}. Determine a equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto ( 1,1,2 ).

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
z^{2}=8-3x^{2}-y^{2}
e pede duas coisas no ponto (1,1,2):
  • a equação do plano tangente à superfície nesse ponto;
  • a equação da reta normal à superfície nesse ponto.
Informações relevantes fornecidas:
  • Ponto dado: (x_0,y_0,z_0)=(1,1,2).
  • Equação da superfície: z^{2}=8-3x^{2}-y^{2}.
(O próximo passo é escolher um método e começar a resolver.)

Passo 2

Escolha do método e ideia principal — explicação didática curta:
  • Uma superfície dada implicitamente por uma equação F(x,y,z)=0 tem como vetor normal no ponto (x_0,y_0,z_0) o gradiente \nabla F(x_0,y_0,z_0).
  • O plano tangente nesse ponto é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.
  • A reta normal é a reta que passa por (x_0,y_0,z_0) e tem direção dada por esse mesmo vetor normal; sua forma paramétrica é
(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t\,\nabla F(x_0,y_0,z_0).
Por que isso funciona (intuição)? O gradiente aponta na direção de maior variação de F e é ortogonal às curvas de nível F= constante; a superfície é um nível de F, logo o gradiente é perpendicular à superfície — eis o normal.

Passo 3

Transformar a equação dada em uma função F conveniente:
A superfície é z^{2}=8-3x^{2}-y^{2}. Levo tudo para um lado e defino
F(x,y,z)=z^{2}+3x^{2}+y^{2}-8.
Assim a superfície é o conjunto F(x,y,z)=0.
Calcular o gradiente \nabla F (cada componente é uma derivada parcial):
\frac{\partial F}{\partial x}=6x,\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial F}{\partial z}=2z.
Avaliar o gradiente no ponto (1,1,2):
\nabla F(1,1,2)=(6\cdot1,\;2\cdot1,\;2\cdot2)=(6,2,4).
Também vale verificar rapidamente que o ponto pertence à superfície:
z_{0}^{2}=2^{2}=4,\qquad 8-3x_{0}^{2}-y_{0}^{2}=8-3\cdot1^{2}-1^{2}=8-3-1=4,
logo 4=4 e o ponto está mesmo na superfície.

Passo 4

Equação do plano tangente usando a fórmula do produto escalar:
\nabla F(1,1,2)\cdot(x-1,y-1,z-2)=0.
Substituindo \nabla F(1,1,2)=(6,2,4) obtemos
6(x-1)+2(y-1)+4(z-2)=0.
Fazendo as contas e simplificando:
6x-6+2y-2+4z-8=0
6x+2y+4z-16=0.
Dividindo tudo por 2 para ficar mais simples:
3x+y+2z-8=0.
Forma isolada para z (opcional, útil na prova):
z=4-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}y.

Passo 5

Equação da reta normal: usar o vetor normal como direção.
Podemos usar \nabla F(1,1,2)=(6,2,4) diretamente; como direção costuma-se simplificar por um fator comum, aqui (6,2,4)=2(3,1,2), então tomo direção (3,1,2) (qualquer múltiplo serve).
Forma paramétrica com parâmetro t:
\begin{cases} x=1+3t,\\[4pt] y=1+1t,\\[4pt] z=2+2t. \end{cases}
Forma simétrica (se preferir):
\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{2}.]

Passo 6

Checagens rápidas (para garantir que está tudo coerente):
  • O vetor normal do plano 3x+y+2z-8=0 é (3,1,2), que é paralelo a \nabla F(1,1,2)=(6,2,4) como esperado (são múltiplos).
  • Substituindo o ponto (1,1,2) na equação do plano:
3\cdot1+1\cdot1+2\cdot2-8=3+1+4-8=0,
logo o ponto pertence ao plano tangente (coerente).

Resposta

Plano tangente: 3x+y+2z-8=0
Reta normal (paramétrica): \displaystyle x=1+3t,\\ y=1+t,\\ z=2+2t

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