(a) (1,0) Seja f: D \rightarrow \mathbb{R} onde D \subseteq \mathbb{R}^{2} é um subconjunto aberto. Dado (a, b) \in D defina diferenciabilidade da f no ponto (a, b). Quando dizemos que f é diferenciável em D ?
(b) (1,0) Prove que f(x, y)=x^{2} y é uma função diferenciável e encontre o plano tangente ao gráfico de f(x, y) no ponto (1,1,1)

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma função f:D\to\mathbb{R} com D\subseteq\mathbb{R}^2 aberto e um ponto (a,b)\in D.
  • A função concreta f(x,y)=x^2y.
O que pede:
  • (a) Definir o que significa f ser diferenciável no ponto (a,b) e quando dizemos que f é diferenciável em D.
  • (b) Provar que f(x,y)=x^2y é diferenciável (no domínio apropriado) e encontrar o plano tangente ao gráfico de f no ponto (1,1,1).

Passo 2

Definição de diferenciabilidade num ponto (explicada devagarinho).
  • Dizemos que f é diferenciável em (a,b) quando existe uma aplicação linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que o erro ao aproximar f por L é pequeno ao nível das distâncias. Formalmente:
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0.
  • Intuição: L é a melhor aproximação linear de f perto de (a,b). Se f é diferenciável então L é necessariamente
L(h,k)=f_x(a,b)\,h+f_y(a,b)\,k,
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em (a,b). Outra notação para L é Df(a,b) ou d f_{(a,b)}.
  • Dizemos que f é diferenciável em D quando f é diferenciável em todo ponto de D.
  • Teorema útil (sem prova detalhada aqui): se as derivadas parciais f_x e f_y existem numa vizinhança de (a,b) e são contínuas em (a,b), então f é diferenciável em (a,b). Essa é a ferramenta prática que costuma ser usada em provas.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais de f(x,y)=x^2y (passo-a-passo).
  • Para f_x(x,y) tratamos y como constante e derivamos em relação a x:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^2y)=2x y.
  • Para f_y(x,y) tratamos x como constante e derivamos em relação a y:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^2y)=x^2.
  • Observação: f_x(x,y)=2xy e f_y(x,y)=x^2 são polinômios em (x,y), logo são contínuos em todo \mathbb{R}^2.
Conclusão parcial: pelas condições do teorema útil acima, como as derivadas parciais existem em todo \mathbb{R}^2 e são contínuas, concluímos que f é diferenciável em todo \mathbb{R}^2 (portanto também no ponto pedido).

Passo 4

Prova direta (opcional, mas didática) da diferenciabilidade em um ponto genérico (a,b) usando a definição:
  • Seja (h,k)\to(0,0). Calculemos a diferença
f(a+h,b+k)-f(a,b).
  • Expandindo:
f(a+h,b+k)=(a+h)^2(b+k)=(a^2+2ah+h^2)(b+k).
Multiplicando:
f(a+h,b+k)=a^2b+a^2k+2ab h+2a h k+ b h^2 + h^2 k.
  • Subtraindo f(a,b)=a^2 b e a parte linear L(h,k)=f_x(a,b)h+f_y(a,b)k=2ab h + a^2 k obtemos o resto
r(h,k)=f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k)=2a h k + b h^2 + h^2 k.
  • Precisamos mostrar \dfrac{r(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\to 0 quando (h,k)\to(0,0).
  • Estimativas (usando desigualdades básicas):
    • |2a h k|\le |2a|\,|h|\,|k|\le |2a|\frac{h^2+k^2}{2}=|a|(h^2+k^2). Assim
    \frac{|2a h k|}{\sqrt{h^2+k^2}}\le |a|\sqrt{h^2+k^2}\to 0.
    • |b h^2|\le |b|(h^2+k^2), então \dfrac{|b h^2|}{\sqrt{h^2+k^2}}\le |b|\sqrt{h^2+k^2}\to 0.
    • |h^2 k|\le (h^2+k^2)^{3/2}, então \dfrac{|h^2 k|}{\sqrt{h^2+k^2}}\le h^2+k^2\to 0.
  • Combinando, \dfrac{|r(h,k)|}{\sqrt{h^2+k^2}}\to 0. Logo f satisfaz a definição de diferenciabilidade em (a,b). Como (a,b) era geral, f é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.

Passo 5

Plano tangente ao gráfico em (1,1,1).
  • Usamos a fórmula do plano tangente em (a,b,f(a,b)):
z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).
  • Para (a,b)=(1,1) temos f(1,1)=1^2\cdot1=1.
  • Calculando as derivadas no ponto (já feito):
f_x(1,1)=2\cdot1\cdot1=2,\qquad f_y(1,1)=1^2=1.
  • Substituindo:
z=1+2(x-1)+1(y-1).
  • Simplificando:
z=2x+y-2.
  • Verificação rápida: em (x,y)=(1,1) z=2+1-2=1, que é o valor do ponto do gráfico, ok.

Resposta

(a) f é diferenciável em (a,b) se existir uma aplicação linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0.
Nesse caso L(h,k)=f_x(a,b)h+f_y(a,b)k. Dizemos que f é diferenciável em D quando é diferenciável em todo ponto de D.
(b) f(x,y)=x^2y é diferenciável em todo \mathbb{R}^2. O plano tangente ao gráfico de f no ponto (1,1,1) é
z=2x+y-2.

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