(a)
Seja
onde
é um subconjunto aberto. Dado
defina diferenciabilidade da
no ponto
. Quando dizemos que
é diferenciável em
?
(b)
Prove que
é uma função diferenciável e encontre o plano tangente ao gráfico de
no ponto
(b)
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma função
com aberto e um ponto . - A função concreta
.
O que pede:
- (a) Definir o que significa
ser diferenciável no ponto e quando dizemos que é diferenciável em . - (b) Provar que
é diferenciável (no domínio apropriado) e encontrar o plano tangente ao gráfico de no ponto .
Passo 2
Definição de diferenciabilidade num ponto (explicada devagarinho).
- Dizemos que
é diferenciável em quando existe uma aplicação linear tal que o erro ao aproximar por é pequeno ao nível das distâncias. Formalmente:
- Intuição:
é a melhor aproximação linear de perto de . Se é diferenciável então é necessariamente
onde
e
são as derivadas parciais de
em
. Outra notação para
é
ou
.
- Dizemos que
é diferenciável em quando é diferenciável em todo ponto de . - Teorema útil (sem prova detalhada aqui): se as derivadas parciais
e existem numa vizinhança de e são contínuas em , então é diferenciável em . Essa é a ferramenta prática que costuma ser usada em provas.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais de
(passo-a-passo).
- Para
tratamos como constante e derivamos em relação a :
- Para
tratamos como constante e derivamos em relação a :
- Observação:
e são polinômios em , logo são contínuos em todo .
Conclusão parcial: pelas condições do teorema útil acima, como as derivadas parciais existem em todo
e são contínuas, concluímos que
é diferenciável em todo
(portanto também no ponto pedido).
Passo 4
Prova direta (opcional, mas didática) da diferenciabilidade em um ponto genérico
usando a definição:
- Seja
. Calculemos a diferença
- Expandindo:
Multiplicando:
- Subtraindo
e a parte linear obtemos o resto
- Precisamos mostrar
quando . - Estimativas (usando desigualdades básicas):
-
Assim
-
, então -
, então
-
- Combinando,
. Logo satisfaz a definição de diferenciabilidade em . Como era geral, é diferenciável em todo .
Passo 5
Plano tangente ao gráfico em
.
- Usamos a fórmula do plano tangente em
:
- Para
temos . - Calculando as derivadas no ponto (já feito):
- Substituindo:
- Simplificando:
- Verificação rápida: em
dá , que é o valor do ponto do gráfico, ok.
Resposta
(a)
é diferenciável em
se existir uma aplicação linear
tal que
Nesse caso
. Dizemos que
é diferenciável em
quando é diferenciável em todo ponto de
.
(b)
é diferenciável em todo
. O plano tangente ao gráfico de
no ponto
é