Considere T: V \longrightarrow V um operador linear
a) Encontre o polinómio caracteristico, os autovalores e os autovetores de T.
b) Se V=\mathbf{R}^{2} e (-3,5) é um autovetor de T associado ao autovalor 2, determine T(-3,5).

Passo 1

Perguntas do enunciado:
  1. (a) Encontrar o polinómio característico, os autovalores e os autovetores de T.
  2. (b) Se V=\mathbf{R}^{2} e (-3,5) é um autovetor de T associado ao autovalor 2, determinar T(-3,5).
Informações dadas:
  • Temos um operador linear T:V\to V.
  • Não foi dada nenhuma matriz, nenhuma ação explícita de T sobre vetores de uma base, nem a dimensão de V (exceto no item (b) onde é dito que V=\mathbf{R}^{2}).
  • No item (b) foi dada a informação de que (-3,5) é autovetor associado ao autovalor 2.

Passo 2

Posso já dizer algo imediato sobre o item (a): com a informação que o enunciado fornece (apenas “ T é linear”), não há dados suficientes para calcular numericamente o polinómio característico, os autovalores e os autovetores de T.
Por que isso? Porque para obter o polinómio característico precisamos da representação matricial de T numa base (ou de uma descrição equivalente da ação de T sobre uma base). O polinómio característico é definido em termos dessa matriz: se A é a matriz de T numa base escolhida, então o polinómio característico de T é
p_T(\lambda)=\det(A-\lambda I),
onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A. Sem A não se pode avaliar essa determinante e, portanto, não se pode dar valores concretos para o polinómio, suas raízes (autovalores) nem os autovetores (que se obtêm resolvendo (A-\lambda I)v=0). Vou agora explicar passo a passo como se faz isso quando a matriz A é conhecida, para você conseguir reproduzir na prova.

Passo 3

Procedimento passo a passo (se na prova lhe der um operador linear T com descrição concreta):
  1. Escolher uma base e obter a matriz A de T nessa base.
    • Explicação: um operador linear é totalmente determinado por sua ação sobre os vetores de uma base. Escrevendo as imagens desses vetores em coordenadas, obtemos as colunas da matriz A.
  2. Calcular o polinómio característico:
    • Fórmula geral: \displaystyle p_T(\lambda)=\det(A-\lambda I).
    • O que significa \det(A-\lambda I): formar a matriz A-\lambda I (subtrair \lambda na diagonal) e calcular o determinante como função de \lambda. O resultado é um polinómio em \lambda de grau n se A for n\times n.
  3. Encontrar os autovalores:
    • Resolver a equação p_T(\lambda)=0. As raízes \lambda são os autovalores (podem repetir-se, dando multiplicidade algébrica).
  4. Para cada autovalor \lambda, encontrar os autovetores:
    • Resolver o sistema homogéneo (A-\lambda I)v=0.
    • Isso significa encontrar a base do espaço nulo de A-\lambda I (o passo prático é fazer eliminação de Gauss). Qualquer vetor não-nulo desse espaço é autovetor associado a \lambda. O conjunto de todas essas soluções (incluindo o vetor nulo) forma o autoespaço de \lambda.
  5. Observações importantes:
    • Se a multiplicidade algébrica de \lambda for maior que a dimensão do autoespaço (multiplicidade geométrica), \lambda é uma raiz com multiplicidade e pode haver falta de vetores próprios suficientes para diagonalizar A.
    • Em \mathbf{R}^{2} (caso mais comum na prova), se A=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix}, então o polinómio característico é
    p_T(\lambda)=\det\!\begin{pmatrix}a-\lambda & b \\[4pt] c & d-\lambda \end{pmatrix} =\lambda^{2}-(a+d)\lambda+(ad-bc).
    • Assim, para uma matriz 2\times2 você calcula traço a+d e determinante ad-bc, monta p_T(\lambda) e resolve a equação quadrática para achar os autovalores. Depois resolve (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda.
Exemplo didático (apenas para ver o processo rodando, não é o seu caso porque não foi dada matriz):
  • Seja
A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Calculei a matriz A (assumida). O polinómio característico é
p_T(\lambda)=\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\[4pt] 0 & 3-\lambda \end{pmatrix}=(2-\lambda)(3-\lambda),
logo os autovalores são \lambda=2 e \lambda=3. Para \lambda=2 resolvemos
(A-2I)v=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=0
o que dá y=0, logo autovetores são múltiplos de \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Para \lambda=3 resolvemos
(A-3I)v=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=0
o que dá y=x, logo autovetores são múltiplos de \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Este exemplo mostra todas as etapas concretas que você deve reproduzir quando a matriz de T for dada na prova.]

Passo 4

Resolvendo o item (b) com a informação dada: a definição de autovetor/autovalor diz que, se v é autovetor associado a \lambda, então
T(v)=\lambda v.
No item (b) foi dito que (-3,5) é autovetor associado ao autovalor 2. Aplicando a definição, temos que T(-3,5)=2\cdot(-3,5). Faço a multiplicação escalar componente a componente:
2\cdot(-3,5)=(-6,10).
Não é necessário conhecer a matriz de T para este item porque a informação de que o vetor é autovetor já dá diretamente a ação de T sobre ele.

Resposta

(a) Não é possível determinar o polinómio característico, os autovalores e os autovetores de T sem uma representação concreta de T (por exemplo, a matriz de T numa base).
(b) T(-3,5)=(-6,10)

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