Considere
um operador linear
a) Encontre o polinómio caracteristico, os autovalores
os autovetores de
.
b) Se
e
é um autovetor de
associado ao autovalor 2, determine
.
a) Encontre o polinómio caracteristico, os autovalores
b) Se
Passo 1
Perguntas do enunciado:
- (a) Encontrar o polinómio característico, os autovalores e os autovetores de
. - (b) Se
e é um autovetor de associado ao autovalor , determinar .
Informações dadas:
- Temos um operador linear
. - Não foi dada nenhuma matriz, nenhuma ação explícita de
sobre vetores de uma base, nem a dimensão de (exceto no item (b) onde é dito que ). - No item (b) foi dada a informação de que
é autovetor associado ao autovalor .
Passo 2
Posso já dizer algo imediato sobre o item (a): com a informação que o enunciado fornece (apenas “
é linear”), não há dados suficientes para calcular numericamente o polinómio característico, os autovalores e os autovetores de
.
Por que isso? Porque para obter o polinómio característico precisamos da representação matricial de numa base (ou de uma descrição equivalente da ação de
sobre uma base). O polinómio característico é definido em termos dessa matriz: se
é a matriz de
numa base escolhida, então o polinómio característico de
é
Por que isso? Porque para obter o polinómio característico precisamos da representação matricial de
onde
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
. Sem
não se pode avaliar essa determinante e, portanto, não se pode dar valores concretos para o polinómio, suas raízes (autovalores) nem os autovetores (que se obtêm resolvendo
). Vou agora explicar passo a passo como se faz isso quando a matriz
é conhecida, para você conseguir reproduzir na prova.
Passo 3
Procedimento passo a passo (se na prova lhe der um operador linear
com descrição concreta):
-
Escolher uma base e obter a matriz
de nessa base. - Explicação: um operador linear é totalmente determinado por sua ação sobre os vetores de uma base. Escrevendo as imagens desses vetores em coordenadas, obtemos as colunas da matriz
.
- Explicação: um operador linear é totalmente determinado por sua ação sobre os vetores de uma base. Escrevendo as imagens desses vetores em coordenadas, obtemos as colunas da matriz
-
Calcular o polinómio característico:
- Fórmula geral:
. - O que significa
: formar a matriz (subtrair na diagonal) e calcular o determinante como função de . O resultado é um polinómio em de grau se for .
- Fórmula geral:
-
Encontrar os autovalores:
- Resolver a equação
. As raízes são os autovalores (podem repetir-se, dando multiplicidade algébrica).
- Resolver a equação
-
Para cada autovalor
, encontrar os autovetores: - Resolver o sistema homogéneo
. - Isso significa encontrar a base do espaço nulo de
(o passo prático é fazer eliminação de Gauss). Qualquer vetor não-nulo desse espaço é autovetor associado a . O conjunto de todas essas soluções (incluindo o vetor nulo) forma o autoespaço de .
- Resolver o sistema homogéneo
-
Observações importantes:
- Se a multiplicidade algébrica de
for maior que a dimensão do autoespaço (multiplicidade geométrica), é uma raiz com multiplicidade e pode haver falta de vetores próprios suficientes para diagonalizar . - Em
(caso mais comum na prova), se , então o polinómio característico é
- Assim, para uma matriz
você calcula traço e determinante , monta e resolve a equação quadrática para achar os autovalores. Depois resolve para cada .
- Se a multiplicidade algébrica de
Exemplo didático (apenas para ver o processo rodando, não é o seu caso porque não foi dada matriz):
- Seja
Calculei a matriz
(assumida). O polinómio característico é
logo os autovalores são
e
. Para
resolvemos
o que dá
, logo autovetores são múltiplos de
. Para
resolvemos
o que dá
, logo autovetores são múltiplos de
.
Este exemplo mostra todas as etapas concretas que você deve reproduzir quando a matriz de for dada na prova.]
Este exemplo mostra todas as etapas concretas que você deve reproduzir quando a matriz de
Passo 4
Resolvendo o item (b) com a informação dada: a definição de autovetor/autovalor diz que, se
é autovetor associado a
, então
No item (b) foi dito que
é autovetor associado ao autovalor
. Aplicando a definição, temos que
. Faço a multiplicação escalar componente a componente:
Não é necessário conhecer a matriz de
para este item porque a informação de que o vetor é autovetor já dá diretamente a ação de
sobre ele.
Resposta
(a) Não é possível determinar o polinómio característico, os autovalores e os autovetores de
sem uma representação concreta de
(por exemplo, a matriz de
numa base).
(b)
(b)