Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares: T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}) tal que T\left(a x^{2}+b x+c\right)=a x^{2}+c x+b
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}) definida por
T\big(a x^{2}+b x+c\big)=a x^{2}+c x+b.
O que se pede: encontrar os autovalores (\lambda) de T e, para cada autovalor, os autovetores (polinômios não nulos p tais que T(p)=\lambda p). Informações relevantes que temos explicitamente:
\text{Domínio/codomínio: } P_{2}(\mathbb{R}) \text{ (polinômios de grau }\le 2\text{).}
\text{Regra de }T: \text{ troca os coeficientes }b\text{ e }c\text{, enquanto mantém }a.
Nada mais é pedido além de autovalores e autovetores correspondentes.
Passo 2
Lembra do que é autovalor e autovetor: um número \lambda\in\mathbb{R} é autovalor de T se existe um polinômio não nulo p\in P_{2}(\mathbb{R}) tal que
T(p)=\lambda p.
Esse polinômio p é chamado de autovetor associado a \lambda. Na prática vamos escrever um polinômio genérico, aplicar T, e igualar a \lambda vezes o polinômio original, resolvendo para os coeficientes.
Passo 3
Escolhemos a base padrão
B=\{x^{2},x,1\}.
Qualquer polinômio em P_{2}(\mathbb{R}) pode ser escrito como
p(x)=\alpha x^{2}+\beta x+\gamma,
onde \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}. Na base B esse polinômio corresponde ao vetor de coordenadas (\alpha,\beta,\gamma)^{T}. Nosso objetivo será achar a matriz de T nessa base e usar essa matriz para obter autovalores e autovetores.
Passo 4
Aplicamos T aos vetores da base para obter a matriz de T na base B.
As duas últimas equações dizem a mesma coisa: \beta=\gamma. A primeira é tautológica (não impõe condição sobre \alpha). Portanto os autovetores correspondentes a \lambda=1 são os polinômios cujos coeficientes satisfazem \beta=\gamma, ou seja polinômios da forma
Da primeira equação segue \alpha=0. Das outras duas, qualquer \beta satisfaz \gamma=-\beta (a segunda implica a terceira). Assim os autovetores têm \alpha=0 e \gamma=-\beta, ou seja são polinômios da forma
\beta x+\gamma=\beta x+(-\beta)=\beta(x-1),
com \beta\neq 0. Uma escolha de autovetor para \lambda=-1 é x-1. Verificação rápida: aplicar T em x-1 (que é 0\cdot x^{2}+1\cdot x+(-1)) dá
T(x-1)=0\cdot x^{2}+(-1)\cdot x+1=-(x-1),
confirmando que é autovetor com autovalor -1.
Passo 8
Resumo e verificação simples dos autovetores encontrados:
T(x^{2})=x^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}\text{ é autovetor com }\lambda=1,é
T(x+1)=x+1\quad\Rightarrow\quad x+1\text{ é autovetor com }\lambda=1,é
T(x-1)=-(x-1)\quad\Rightarrow\quad x-1\text{ é autovetor com }\lambda=-1.é
Isso confirma que os autovalores são \lambda=1 (espaço próprio gerado por x^{2} e x+1) e \lambda=-1 (espaço próprio gerado por x-1).
Resposta
\lambda=1: autovetores (espaço próprio) gerado por \{x^{2},\,x+1\}. \lambda=-1: autovetores (espaço próprio) gerado por \{x-1\}.