Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares:
T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}) tal que T\left(a x^{2}+b x+c\right)=a x^{2}+c x+b

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}) definida por
T\big(a x^{2}+b x+c\big)=a x^{2}+c x+b.
O que se pede: encontrar os autovalores ( \lambda) de T e, para cada autovalor, os autovetores (polinômios não nulos p tais que T(p)=\lambda p). Informações relevantes que temos explicitamente:
\text{Domínio/codomínio: } P_{2}(\mathbb{R}) \text{ (polinômios de grau }\le 2\text{).}ííô
\text{Regra de }T: \text{ troca os coeficientes }b\text{ e }c\text{, enquanto mantém }a.é
Nada mais é pedido além de autovalores e autovetores correspondentes.

Passo 2

Lembra do que é autovalor e autovetor: um número \lambda\in\mathbb{R} é autovalor de T se existe um polinômio não nulo p\in P_{2}(\mathbb{R}) tal que
T(p)=\lambda p.
Esse polinômio p é chamado de autovetor associado a \lambda. Na prática vamos escrever um polinômio genérico, aplicar T, e igualar a \lambda vezes o polinômio original, resolvendo para os coeficientes.

Passo 3

Escolhemos a base padrão
B=\{x^{2},x,1\}.
Qualquer polinômio em P_{2}(\mathbb{R}) pode ser escrito como
p(x)=\alpha x^{2}+\beta x+\gamma,
onde \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}. Na base B esse polinômio corresponde ao vetor de coordenadas (\alpha,\beta,\gamma)^{T}. Nosso objetivo será achar a matriz de T nessa base e usar essa matriz para obter autovalores e autovetores.

Passo 4

Aplicamos T aos vetores da base para obter a matriz de T na base B.
T(x^{2})=x^{2}\quad\Rightarrow\quad \text{coordenadas }(1,0,0)^{T}.
T(x)=T(0\cdot x^{2}+1\cdot x+0)=0\cdot x^{2}+0\cdot x+1=1\quad\Rightarrow\quad \text{coordenadas }(0,0,1)^{T}.
T(1)=T(0\cdot x^{2}+0\cdot x+1)=0\cdot x^{2}+1\cdot x+0=x\quad\Rightarrow\quad \text{coordenadas }(0,1,0)^{T}.
Portanto a matriz de T na base B é
[T]_{B}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Vamos achar os autovalores calculando o polinômio característico \det([T]_{B}-\lambda I). Subtraindo \lambda da diagonal obtemos
[T]_{B}-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -\lambda & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é o produto do elemento (1,1) pelo determinante do menor 2\times2 porque a primeira linha tem zeros nas outras posições:
\det([T]_{B}-\lambda I)=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1 \\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix}.
Calculamos o determinante do 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1 \\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix}=(-\lambda)(-\lambda)-1\cdot 1=\lambda^{2}-1.
Logo o polinômio característico é
\det([T]_{B}-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda^{2}-1).
Fatorando mais:
\lambda^{2}-1=(\lambda-1)(\lambda+1),
portanto as raízes são \lambda=1 (com multiplicidade 2) e \lambda=-1 (com multiplicidade 1). Esses são os candidatos a autovalores.]

Passo 6

Encontrando autovetores para \lambda=1. Queremos todos os vetores (\alpha,\beta,\gamma)^{T} tais que
[T]_{B}(\alpha,\beta,\gamma)^{T}=1\cdot(\alpha,\beta,\gamma)^{T}.
Usando a regra da transformação (ou a matriz), a imagem tem coordenadas (\alpha,\gamma,\beta)^{T}. A equação fica
(\alpha,\gamma,\beta)^{T}=(\alpha,\beta,\gamma)^{T}.
Comparando coordenadas obtemos o sistema
\alpha=\alpha,\qquad \gamma=\beta,\qquad \beta=\gamma.
As duas últimas equações dizem a mesma coisa: \beta=\gamma. A primeira é tautológica (não impõe condição sobre \alpha). Portanto os autovetores correspondentes a \lambda=1 são os polinômios cujos coeficientes satisfazem \beta=\gamma, ou seja polinômios da forma
\alpha x^{2}+\beta x+\beta=\alpha x^{2}+\beta(x+1),
com \alpha,\beta nem ambos zero. Uma base conveniente da espaço próprio é dada pelos polinômios
x^{2}\quad\text{e}\quad x+1,
que são linearmente independentes. Assim a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 2.

Passo 7

Encontrando autovetores para \lambda=-1. Queremos (\alpha,\beta,\gamma)^{T} tais que
(\alpha,\gamma,\beta)^{T}=-(\alpha,\beta,\gamma)^{T}=(-\alpha,-\beta,-\gamma)^{T}.
Comparando coordenadas:
\alpha=-\alpha,\qquad \gamma=-\beta,\qquad \beta=-\gamma.
Da primeira equação segue \alpha=0. Das outras duas, qualquer \beta satisfaz \gamma=-\beta (a segunda implica a terceira). Assim os autovetores têm \alpha=0 e \gamma=-\beta, ou seja são polinômios da forma
\beta x+\gamma=\beta x+(-\beta)=\beta(x-1),
com \beta\neq 0. Uma escolha de autovetor para \lambda=-1 é x-1. Verificação rápida: aplicar T em x-1 (que é 0\cdot x^{2}+1\cdot x+(-1)) dá
T(x-1)=0\cdot x^{2}+(-1)\cdot x+1=-(x-1),
confirmando que é autovetor com autovalor -1.

Passo 8

Resumo e verificação simples dos autovetores encontrados:
T(x^{2})=x^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}\text{ é autovetor com }\lambda=1,é
T(x+1)=x+1\quad\Rightarrow\quad x+1\text{ é autovetor com }\lambda=1,é
T(x-1)=-(x-1)\quad\Rightarrow\quad x-1\text{ é autovetor com }\lambda=-1.é
Isso confirma que os autovalores são \lambda=1 (espaço próprio gerado por x^{2} e x+1) e \lambda=-1 (espaço próprio gerado por x-1).

Resposta

\lambda=1: autovetores (espaço próprio) gerado por \{x^{2},\,x+1\}.
\lambda=-1: autovetores (espaço próprio) gerado por \{x-1\}.

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