1. Considere a titulação de 50,0 \mathrm{~mL} de uma solução de glicinato de sódio 0,100 \mathrm{M}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{NCH}_{2} \mathrm{CO}_{2} \mathrm{Na}\right) com uma solução de \mathrm{HCl} 0,100 \mathrm{M}. Calcule o pH no segundo ponto de equivalência.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (vou listar exatamente o que foi dado).
  • Pede: calcular o pH no segundo ponto de equivalência da titulação.
  • Dados do enunciado:
    • Volume da solução de glicinato de sódio: 50{,}0\\ \mathrm{mL}.
    • Concentração dessa solução: 0{,}100\\ \mathrm{M}.
    • Titulante: \mathrm{HCl} de concentração 0{,}100\\ \mathrm{M}.
  • Observação importante (valores de equilibria de ácido-base necessários): para a glicina usa-se os pKa usuais
    • \mathrm{p}K_{a1}=2{,}34 (dissociação da forma totalmente protonada para a forma zwitterion),
    • \mathrm{p}K_{a2}=9{,}60 (dissociação do zwitterion para a forma aniônica).
    • Vou usar esses valores porque o enunciado não deu pKa explicitamente e são os valores padrão para glicina.

Passo 2

Entendimento químico do que acontece na titulação (explicação didática passo a passo).
  • A espécie inicial é o glicinato de sódio, que corresponde à fórmula da forma totalmente deprotonada do grupo carboxilato com amina não protonada: \mathrm{H_{2}NCH_{2}CO_{2}^{-}} (saldo elétrico -1). Cada molécula de glicina pode aceitar dois prótons sequencialmente:
    1. prótonar a amina: \mathrm{H_{2}NCH_{2}CO_{2}^{-}} + \mathrm{H^{+}} \to \mathrm{H_{3}N^{+}CH_{2}CO_{2}^{-}} (zwitterion, carga 0);
    2. prótonar o carboxilato: \mathrm{H_{3}N^{+}CH_{2}CO_{2}^{-}} + \mathrm{H^{+}} \to \mathrm{H_{3}N^{+}CH_{2}CO_{2}H} (forma totalmente protonada, carga +1).
  • Assim, para ir da forma inicial até a forma totalmente protonada é preciso 2 mols de \mathrm{HCl} por mol de glicinato. Portanto o “segundo ponto de equivalência” corresponde ao momento em que todo o glicinato foi convertido em \mathrm{H_{3}N^{+}CH_{2}CO_{2}H} (cada molécula recebeu 2 prótons).
  • No segundo ponto de equivalência teremos, na solução, a espécie totalmente protonada \mathrm{H_{3}N^{+}CH_{2}CO_{2}H} associada a \mathrm{Cl^{-}}. O pH nesse ponto é controlado pela primeira dissociação ácida desta espécie: \mathrm{H_{3}N^{+}CH_{2}CO_{2}H \rightleftharpoons H^{+} + H_{3}N^{+}CH_{2}CO_{2}^{-}},cuja constante ácida é \displaystyle K_{a1}=10^{-\mathrm{p}K_{a1}}=10^{-2{,}34}.

Passo 3

Calcular as quantidades (moles) e o volume final no segundo ponto de equivalência.
  • Moles de glicinato iniciais: n_{\text{Gly}} = V\cdot C = 0{,}0500\\ \mathrm{L}\times 0{,}100\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} = 0{,}00500\\ \mathrm{mol}.
  • Moles de \mathrm{HCl} necessários para o segundo ponto de equivalência (2 equivalentes por mol): n_{\mathrm{HCl}} = 2\cdot n_{\text{Gly}} = 2\cdot 0{,}00500 = 0{,}01000\\ \mathrm{mol}.
  • Volume de \mathrm{HCl} adicionado (concentração 0{,}100\\ \mathrm{M}): V_{\mathrm{HCl}} = \frac{n_{\mathrm{HCl}}}{C_{\mathrm{HCl}}} = \frac{0{,}01000}{0{,}100} = 0{,}1000\\ \mathrm{L} = 100{,}0\\ \mathrm{mL}.
  • Volume total da solução no ponto de equivalência: V_{\text{tot}} = 50{,}0\\ \mathrm{mL} + 100{,}0\\ \mathrm{mL} = 150{,}0\\ \mathrm{mL} = 0{,}1500\\ \mathrm{L}.

Passo 4

Concentração da espécie totalmente protonada no ponto de equivalência.
  • Todos os 0{,}00500\\ \mathrm{mol} de glicina estão na forma \mathrm{H_{3}N^{+}CH_{2}CO_{2}H}. A concentração dessa espécie é C = \frac{n_{\text{Gly}}}{V_{\text{tot}}} = \frac{0{,}00500}{0{,}1500} = 0{,}03333\\ \mathrm{M}.

Passo 5

Escrever a constante de dissociação que determina o pH e montar a equação química de equilíbrio.
  • A reação de interesse (dissociação ácida da forma totalmente protonada) é \mathrm{H_{3}N^{+}CH_{2}CO_{2}H \rightleftharpoons H^{+} + H_{3}N^{+}CH_{2}CO_{2}^{-}}.
  • A constante ácida corresponde a \displaystyle K_{a1}=10^{-\mathrm{p}K_{a1}} = 10^{-2{,}34}.
  • Definindo x=[\mathrm{H^{+}}] que se gera por essa dissociação (assumindo que a contribuição do \mathrm{H^{+}} da autoionização da água seja desprezível comparada a x), o equilíbrio dá: K_{a1}=\frac{[\mathrm{H^{+}}]\,[\mathrm{H_{3}N^{+}CH_{2}CO_{2}^{-}}]}{[\mathrm{H_{3}N^{+}CH_{2}CO_{2}H}]}=\frac{x\cdot x}{C-x}=\frac{x^{2}}{C-x}.
  • Isso leva à equação quadrática x^{2}+K_{a1}\,x-K_{a1}\,C=0.

Passo 6

Cálculo numérico da constante K_{a1}, resolução da quadrática e obtenção do pH (vou mostrar cada conta para ficar bem claro).
  • Calcular K_{a1}: K_{a1}=10^{-2{,}34}\approx 0{,}004577.(cálculo: 10^{-0{,}34}\approx 0{,}4577, portanto 10^{-2{,}34}=0{,}01\times0{,}4577\approx0{,}004577.)
  • Substituindo em x^{2}+K_{a1}x-K_{a1}C=0 com C=0{,}03333: x^{2}+0{,}004577\,x-(0{,}004577\times0{,}03333)=0.Calcule o produto: K_{a1}C = 0{,}004577\times0{,}03333 \approx 0{,}0001526.
  • A solução positiva da quadrática é x=\frac{-K_{a1}+\sqrt{K_{a1}^{2}+4K_{a1}C}}{2}.Agora calcule o discriminante: K_{a1}^{2}+4K_{a1}C \approx (0{,}004577)^{2}+4\times0{,}0001526 \approx 0{,}0000210+0{,}0006104 \approx 0{,}0006314.
\sqrt{K_{a1}^{2}+4K_{a1}C}\approx \sqrt{0{,}0006314}\approx 0{,}02513.
  • Substituindo: x \approx \frac{-0{,}004577+0{,}02513}{2}=\frac{0{,}020553}{2}=0{,}010276\\ \mathrm{M}.
  • Finalmente o pH é \mathrm{pH}=-\log_{10}(x) \approx -\log_{10}(0{,}010276)\approx 1{,}99.

Passo 7

Interpretação curta (para você lembrar na prova).
  • No segundo ponto de equivalência a solução contém a forma totalmente protonada da glicina, que se comporta como um ácido fraco com \mathrm{p}K_{a1}=2{,}34. Assim o pH é obtido resolvendo a dissociação desse ácido fraco com a concentração diluída após adição do titulante. O cálculo que fiz mostra \mathrm{pH}\approx1{,}99. Força aí — esse tipo de raciocínio (identificar a espécie presente no ponto de equivalência, achar a Ka relevante, calcular a concentração final e resolver o equilíbrio) é o padrão para questões de titulação diprótica.

Resposta

\mathrm{pH}=1{,}99

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