Considere um trajeto retangular definido pelos pontos
e D , numa região onde existe um campo elétrico
. Se sairmos do ponto A , seguirmos a trajetória
e A , qual é a diferença de potencial entre os pontos de saída e chegada? Qual é o trabalho realizado pela força elétrica? Esses resultados dependem do trajeto ser retangular?
Passo 1
O enunciado dá um caminho fechado que começa em
, segue por
, depois
, depois
e volta a
. Perguntas que o enunciado faz:
- Qual é a diferença de potencial entre o ponto de saída e o ponto de chegada?
- Qual é o trabalho realizado pela força elétrica ao percorrer esse trajeto?
- Esses resultados dependem do fato do trajeto ser retangular?
Informações relevantes que temos (explicitadas):
- O ponto de saída e o ponto de chegada são o mesmo ponto
(o trajeto é fechado). - Há um campo elétrico
na região, sem informação adicional no enunciado (vou assumir primeiro o caso mais comum em física básica: é um campo eletrostático, i.e., campo conservativo; depois discuto a exceção).
Passo 2
Definição e fórmula útil (o que é diferença de potencial e como calculá-la):
- A diferença de potencial elétrico entre dois pontos
e é definida por
onde
é um elemento infinitesimal do percurso do ponto
até o ponto
, e
é o produto escalar entre o campo e o deslocamento. Explicando as letras:
-
é o potencial elétrico no ponto (um número escalar). -
é o campo elétrico no ponto considerado. -
aponta no sentido do deslocamento; a unidade da integral é de campo vezes comprimento. - Essa fórmula é a relação fundamental que liga campo elétrico e potencial. Ela diz: para calcular a variação de potencial de
para , integra-se ao longo de qualquer caminho que ligue a .
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso (diferença de potencial para o trajeto fechado):
- No problema o ponto inicial e final são o mesmo ponto
. Então a diferença de potencial entre saída e chegada é
- Pela definição de diferença de potencial em termos de integral de linha:
onde
denota integral ao longo do caminho fechado
.
- Se
for um campo eletrostático (conservativo), uma propriedade importante vale:
Isto é, a integral de um campo conservativo ao longo de qualquer laço fechado é zero. Assim
- Conclusão imediata: a diferença de potencial entre o ponto de saída e o ponto de chegada (mesmo ponto
) é .
Passo 4
Definição do trabalho realizado pela força elétrica e relação com potencial:
- A força elétrica sobre uma carga
é . - O trabalho realizado pela força elétrica ao mover a carga ao longo de um caminho de
a é
- Usando a relação entre potencial e campo, obtemos
- Para o caminho do enunciado (fechado,
), com carga , o trabalho total é
- Novamente, se
for eletrostático (conservativo), , então
- Interpretação simples: num campo conservativo a força elétrica não realiza trabalho líquido ao levar uma carga em um ciclo completo — o ganho de energia cinética em um trecho é compensado pela perda em outro trecho.
Passo 5
Explicação didática sobre independência do trajeto e exceções (quando a forma importa):
- Para campos eletrostáticos (campos gerados por cargas estacionárias), a propriedade chave é que o campo é conservativo. Formalmente:
e isso implica
para qualquer laço fechado. Portanto, para um campo eletrostático os resultados que obtivemos (
entre início e fim e trabalho ao longo do laço) são independentes da forma do trajeto: não importa se o caminho é retangular, curvo, zig-zag — se começa e termina no mesmo ponto, a diferença de potencial é zero e o trabalho sobre uma carga é zero.
- Exceção importante: se o campo elétrico não for conservativo, por exemplo um campo elétrico induzido por um campo magnético variável no tempo (caso de uma situação com
), vale a Lei de Faraday:
onde
é o fluxo magnético através da superfície limitada pelo laço. Nesse caso
pode ser diferente de zero e depende da área/traço do laço; logo a diferença de potencial entre pontos e o trabalho realizado ao redor de um ciclo podem depender do caminho (e tipicamente não existe um potencial escalar global bem-definido).
- Resumindo em linguagem de prova/colégio: se o campo for eletrostático (caso típico), os resultados não dependem de o caminho ser retangular; se o campo for um campo elétrico induzido (não-conservativo), aí sim os resultados podem depender do trajeto.
Passo 6
Exemplo concreto curtinho (pra fixar a ideia):
- Suponha
constante. Entre dois pontos que diferem apenas por uma coordenada , a diferença de potencial é , independente de como se vai de um ponto a outro (pode subir e descer em que não muda o resultado). Para um percurso fechado nessa mesma situação uniforme a integral fechada é zero, confirmando a independência do caminho.
Passo 7
Resumo final e incentivo rápido:
- Para o caso usual (campo eletrostático): diferença de potencial entre início e fim de um laço fechado é zero; trabalho da força elétrica ao percorrer o laço é zero; e isso não depende de o percurso ser retangular. Se houver campos não-conservativos (p.ex. induzidos por
), então a resposta muda: a integral fechada pode ser não nula e os resultados passam a depender do caminho.
Resposta
Diferença de potencial entre os pontos de saída e chegada:
.
Trabalho realizado pela força elétrica: .
Dependência do trajeto ser retangular: Não — para um campo eletrostático (conservativo) os resultados são independentes da forma do trajeto; se o campo não for conservativo (por exemplo um campo induzido por ), então os resultados podem depender do trajeto.
Trabalho realizado pela força elétrica:
Dependência do trajeto ser retangular: Não — para um campo eletrostático (conservativo) os resultados são independentes da forma do trajeto; se o campo não for conservativo (por exemplo um campo induzido por