Considere um trajeto retangular definido pelos pontos \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} e D , numa região onde existe um campo elétrico \vec{E}. Se sairmos do ponto A , seguirmos a trajetória \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D} e A , qual é a diferença de potencial entre os pontos de saída e chegada? Qual é o trabalho realizado pela força elétrica? Esses resultados dependem do trajeto ser retangular?

Passo 1

O enunciado dá um caminho fechado que começa em A, segue por B, depois C, depois D e volta a A. Perguntas que o enunciado faz:
  • Qual é a diferença de potencial entre o ponto de saída e o ponto de chegada?
  • Qual é o trabalho realizado pela força elétrica ao percorrer esse trajeto?
  • Esses resultados dependem do fato do trajeto ser retangular?
Informações relevantes que temos (explicitadas):
  • O ponto de saída e o ponto de chegada são o mesmo ponto A (o trajeto é fechado).
  • Há um campo elétrico \vec{E} na região, sem informação adicional no enunciado (vou assumir primeiro o caso mais comum em física básica: \vec{E} é um campo eletrostático, i.e., campo conservativo; depois discuto a exceção).

Passo 2

Definição e fórmula útil (o que é diferença de potencial e como calculá-la):
  • A diferença de potencial elétrico entre dois pontos P e Q é definida por
V(Q)-V(P) = -\int_{P}^{Q} \vec{E}\cdot d\vec{\ell},
onde d\vec{\ell} é um elemento infinitesimal do percurso do ponto P até o ponto Q, e \vec{E}\cdot d\vec{\ell} é o produto escalar entre o campo e o deslocamento. Explicando as letras:
  • V(X) é o potencial elétrico no ponto X (um número escalar).
  • \vec{E} é o campo elétrico no ponto considerado.
  • d\vec{\ell} aponta no sentido do deslocamento; a unidade da integral é de campo vezes comprimento.
  • Essa fórmula é a relação fundamental que liga campo elétrico e potencial. Ela diz: para calcular a variação de potencial de P para Q, integra-se -\vec{E}\cdot d\vec{\ell} ao longo de qualquer caminho que ligue P a Q.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso (diferença de potencial para o trajeto fechado):
  • No problema o ponto inicial e final são o mesmo ponto A. Então a diferença de potencial entre saída e chegada é
V(\text{chegada})-V(\text{saída}) = V(A)-V(A).í
  • Pela definição de diferença de potencial em termos de integral de linha:
V(A)-V(A) = -\int_{A}^{A} \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = -\oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell},
onde \oint denota integral ao longo do caminho fechado A\to B\to C\to D\to A.
  • Se \vec{E} for um campo eletrostático (conservativo), uma propriedade importante vale:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = 0.
Isto é, a integral de um campo conservativo ao longo de qualquer laço fechado é zero. Assim
V(A)-V(A)=0.
  • Conclusão imediata: a diferença de potencial entre o ponto de saída e o ponto de chegada (mesmo ponto A) é 0.

Passo 4

Definição do trabalho realizado pela força elétrica e relação com potencial:
  • A força elétrica sobre uma carga q é \vec{F}=q\vec{E}.
  • O trabalho realizado pela força elétrica ao mover a carga ao longo de um caminho de P a Q é
W_{P\to Q} = \int_{P}^{Q} \vec{F}\cdot d\vec{\ell} = q\int_{P}^{Q} \vec{E}\cdot d\vec{\ell}.
  • Usando a relação entre potencial e campo, obtemos
W_{P\to Q} = -q\bigl(V(Q)-V(P)\bigr).
  • Para o caminho do enunciado (fechado, A\to B\to C\to D\to A), com carga q, o trabalho total é
W_{\text{loop}} = \oint \vec{F}\cdot d\vec{\ell} = q\oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell}.
  • Novamente, se \vec{E} for eletrostático (conservativo), \oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell}=0, então
W_{\text{loop}} = 0.
  • Interpretação simples: num campo conservativo a força elétrica não realiza trabalho líquido ao levar uma carga em um ciclo completo — o ganho de energia cinética em um trecho é compensado pela perda em outro trecho.

Passo 5

Explicação didática sobre independência do trajeto e exceções (quando a forma importa):
  • Para campos eletrostáticos (campos gerados por cargas estacionárias), a propriedade chave é que o campo é conservativo. Formalmente:
\nabla\times\vec{E} = \vec{0}
e isso implica \oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell}=0 para qualquer laço fechado. Portanto, para um campo eletrostático os resultados que obtivemos ( V entre início e fim e trabalho ao longo do laço) são independentes da forma do trajeto: não importa se o caminho é retangular, curvo, zig-zag — se começa e termina no mesmo ponto, a diferença de potencial é zero e o trabalho sobre uma carga é zero.
  • Exceção importante: se o campo elétrico não for conservativo, por exemplo um campo elétrico induzido por um campo magnético variável no tempo (caso de uma situação com \partial\vec{B}/\partial t \neq 0), vale a Lei de Faraday:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = -\frac{d\Phi_{B}}{dt},
onde \Phi_B é o fluxo magnético através da superfície limitada pelo laço. Nesse caso \oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell} pode ser diferente de zero e depende da área/traço do laço; logo a diferença de potencial entre pontos e o trabalho realizado ao redor de um ciclo podem depender do caminho (e tipicamente não existe um potencial escalar global bem-definido).
  • Resumindo em linguagem de prova/colégio: se o campo for eletrostático (caso típico), os resultados não dependem de o caminho ser retangular; se o campo for um campo elétrico induzido (não-conservativo), aí sim os resultados podem depender do trajeto.

Passo 6

Exemplo concreto curtinho (pra fixar a ideia):
  • Suponha \vec{E}=E_0\hat{x} constante. Entre dois pontos que diferem apenas por uma coordenada x, a diferença de potencial é \Delta V = -E_0\Delta x, independente de como se vai de um ponto a outro (pode subir e descer em y que não muda o resultado). Para um percurso fechado nessa mesma situação uniforme a integral fechada é zero, confirmando a independência do caminho.

Passo 7

Resumo final e incentivo rápido:
  • Para o caso usual (campo eletrostático): diferença de potencial entre início e fim de um laço fechado é zero; trabalho da força elétrica ao percorrer o laço é zero; e isso não depende de o percurso ser retangular. Se houver campos não-conservativos (p.ex. induzidos por \partial\vec B/\partial t), então a resposta muda: a integral fechada pode ser não nula e os resultados passam a depender do caminho.

Resposta

Diferença de potencial entre os pontos de saída e chegada: 0.
Trabalho realizado pela força elétrica: 0.
Dependência do trajeto ser retangular: Não — para um campo eletrostático (conservativo) os resultados são independentes da forma do trajeto; se o campo não for conservativo (por exemplo um campo induzido por \partial\vec{B}/\partial t\neq0), então os resultados podem depender do trajeto.

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