Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x-y-2 z,-x-3 z, x+2 z).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{21} vale:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(-x-y-2z,\\\ -x-3z,\\ x+2z).
Pede-se calcular B, a matriz que representa a inversa de T, e especificamente descobrir o valor da entrada b_{21} (segunda linha, primeira coluna) de B.
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra de T sobre um vetor arbitrário (x,y,z) está explícita.
  • A base considerada é a base canônica (não foi indicada outra), então a matriz de T na base canônica tem colunas iguais a T(e_1),T(e_2),T(e_3).
  • É necessário obter B=A^{-1} onde A é a matriz de T, e então pegar o elemento b_{21}.

Passo 2

Vamos formar a matriz A que representa T na base canônica. Para isso calculamos T(e_1),T(e_2),T(e_3).
Calcule T(e_1)=T(1,0,0):
T(1,0,0)=(-1,-1,1).
Calcule T(e_2)=T(0,1,0):
T(0,1,0)=(-1,0,0).
Calcule T(e_3)=T(0,0,1):
T(0,0,1)=(-2,-3,2).
Portanto a matriz A (colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3)) é
A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & -2\\[4pt] -1 & 0 & -3\\[4pt] 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Antes de inverter, é importante verificar que A é invertível. Para isso calculamos o determinante \det(A). Vou usar a expansão por cofactores ao longo da primeira coluna (é direto e didático).
Seja a primeira coluna (a_{11},a_{21},a_{31})=(-1,-1,1). Então
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31},
onde C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}) é o cofator e M_{ij} é a menor obtida eliminando a linha i e coluna j.
Calcule cada menor:
  • Para a_{11}=-1, a menor M_{11}=\begin{pmatrix}0 & -3\\[2pt] 0 & 2\end{pmatrix} tem determinante
\det(M_{11})=0\cdot2-(-3)\cdot0=0.
Logo a_{11}C_{11}=(-1)\cdot(+1)\cdot0=0.
  • Para a_{21}=-1, a menor M_{21}=\begin{pmatrix}-1 & -2\\[2pt] 0 & 2\end{pmatrix} tem determinante
\det(M_{21})=(-1)\cdot2-(-2)\cdot0=-2.
O cofator tem sinal (-1)^{2+1}=-1, então a_{21}C_{21}=(-1)\cdot(-1)\cdot(-2)=-2.
  • Para a_{31}=1, a menor M_{31}=\begin{pmatrix}-1 & -2\\[2pt] 0 & -3\end{pmatrix} tem determinante
\det(M_{31})=(-1)\cdot(-3)-(-2)\cdot0=3.
O cofator tem sinal (-1)^{3+1}=+1, então a_{31}C_{31}=1\cdot(+1)\cdot3=3.
Somando:
\det(A)=0+(-2)+3=1.
Como \det(A)=1\neq0, a matriz A é invertível.]

Passo 4

Fórmula útil para inversa: para matriz quadrada A com \det(A)\neq0,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a adjunta (adjugate), obtida transpondo a matriz dos cofatores. Em termos de entradas, a relação é
(A^{-1})_{ij}=\frac{1}{\det(A)}C_{ji},
ou seja, a entrada na linha i, coluna j de A^{-1} é o cofator C_{ji} (cofator do elemento a_{j i}) dividido por \det(A).
Como precisamos somente de b_{21}, que é (A^{-1})_{21}, usamos a fórmula acima com índices i=2, j=1:
b_{21}=(A^{-1})_{21}=\frac{1}{\det(A)}C_{1,2}.
Observe que aparece o cofator C_{1,2} (índices trocados).

Passo 5

Calculemos o cofator C_{1,2}. Por definição
C_{1,2}=(-1)^{1+2}\det(M_{1,2}) = -\det(M_{1,2}),
onde M_{1,2} é a menor obtida removendo linha 1 e coluna 2 de A. Removendo linha 1 e coluna 2 da matriz A obtemos
M_{1,2}=\begin{pmatrix} -1 & -3\\[2pt] 1 & 2 \end{pmatrix}.
O determinante de M_{1,2} é
\det(M_{1,2}) = (-1)\cdot2 - (-3)\cdot1 = -2 +3 = 1.
Então
C_{1,2}=-\det(M_{1,2})=-1.]

Passo 6

Aplicando a relação do Passo 4 com \det(A)=1 e C_{1,2}=-1, obtemos
b_{21}=\frac{1}{\det(A)}C_{1,2}=\frac{1}{1}\cdot(-1)=-1.

Resposta

-1

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