Q9: Seja \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} uma base de \mathbb{R}^{3} e A uma matriz 3 \times 3 tal que
A \vec{v}_{1}=3 \vec{v}_{1}, \quad A \vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3 \vec{v}_{3} \quad \text { e } \quad A \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-4 \vec{v}_{3} .
Se M=\left[\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} \vec{v}_{3}\right], então:
(A) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & -3 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
(B) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]
(C) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & -3 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] M
(D) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & -4\end{array}\right] M
(E) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & -4\end{array}\right]
(F) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -3 \\\\ 1 & 0 & -4\end{array}\right]
(G) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -3 \\\\ 1 & 0 & -4\end{array}\right] M
(H) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] M

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • O enunciado dá uma base \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} de \mathbb{R}^{3} e uma matriz A tal que: A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1},\qquad A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3},\qquad A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-4\vec{v}_{3}.
  • Também é dada a matriz M cujas colunas são os vetores da base: M=\left[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\\ \vec{v}_{3}\right].
  • O enunciado apresenta várias alternativas envolvendo produtos de A e M e pede que se escolha qual igualdade é verdadeira.

Passo 2

Entender a relação entre A, M e as colunas: quando uma matriz M tem como colunas os vetores de uma base, aplicar A a cada coluna corresponde a multiplicar M pela matriz cujas colunas são as coordenadas de A\vec{v}_j na base.
Explicando com calma: a multiplicação de matrizes por colunas funciona assim:
AM=[\,A\vec{v}_{1}\quad A\vec{v}_{2}\quad A\vec{v}_{3}\,],
porque multiplicar A por M aplica A a cada coluna de M. Então, se conseguimos escrever cada A\vec{v}_{j} como combinação linear dos vetores \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}, essas combinações serão exatamente as colunas de uma matriz C tal que
AM=M C.

Passo 3

Escrever cada A\vec{v}_{j} nas coordenadas da base \beta.
  • Para \vec{v}_{1}:
    A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1}.
    Isso significa que, nas coordenadas em relação à base \beta, a coluna correspondente é
    \begin{pmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para \vec{v}_{2}:
    A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}.
    Nas coordenadas em relação a \beta (ordem \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}) isso é
    \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
  • Para \vec{v}_{3}:
    A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-4\vec{v}_{3}.
    Nas coordenadas em relação a \beta isso é
    \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Formar a matriz C cujas colunas são as coordenadas obtidas para A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3}:
C=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & -4 \end{pmatrix}.
Pela razão do Passo 2, temos então a igualdade matricial
AM = M C.]

Passo 5

Comparar com as alternativas: a alternativa que corresponde exatamente a essa forma é a que afirma
AM = M\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & -4 \end{pmatrix}.
Essa é a alternativa (E).
Observação rápida e útil para a prova: M A não é a mesma coisa que A M. O produto à direita por A transforma as coordenadas das colunas; o produto à esquerda por A aplica A aos vetores das colunas. Por isso é importante prestar atenção na ordem.]

Resposta

(E)

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