Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
O enunciado dá uma base \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} de \mathbb{R}^{3} e uma matriz A tal que:A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1},\qquad A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3},\qquad A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-4\vec{v}_{3}.
Também é dada a matriz M cujas colunas são os vetores da base:M=\left[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\\ \vec{v}_{3}\right].
O enunciado apresenta várias alternativas envolvendo produtos de A e M e pede que se escolha qual igualdade é verdadeira.
Passo 2
Entender a relação entre A, M e as colunas: quando uma matriz M tem como colunas os vetores de uma base, aplicar A a cada coluna corresponde a multiplicar M pela matriz cujas colunas são as coordenadas de A\vec{v}_j na base.
Explicando com calma: a multiplicação de matrizes por colunas funciona assim:
porque multiplicar A por M aplica A a cada coluna de M. Então, se conseguimos escrever cada A\vec{v}_{j} como combinação linear dos vetores \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}, essas combinações serão exatamente as colunas de uma matriz C tal que
AM=M C.
Passo 3
Escrever cada A\vec{v}_{j} nas coordenadas da base \beta.
Para \vec{v}_{1}:
A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1}.
Isso significa que, nas coordenadas em relação à base \beta, a coluna correspondente é
\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para \vec{v}_{2}:
A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}.
Nas coordenadas em relação a \beta (ordem \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}) isso é
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Para \vec{v}_{3}:
A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-4\vec{v}_{3}.
Nas coordenadas em relação a \beta isso é
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-4\end{pmatrix}.]
Passo 4
Formar a matriz C cujas colunas são as coordenadas obtidas para A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3}:
Observação rápida e útil para a prova: M A não é a mesma coisa que A M. O produto à direita por A transforma as coordenadas das colunas; o produto à esquerda por A aplica A aos vetores das colunas. Por isso é importante prestar atenção na ordem.]