Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+y-z, 2 x-y+3 z, x-2 y+z).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{31} vale:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(-x+y-z,\;2x-y+3z,\;x-2y+z).
Pede para calcular B, a matriz que representa a INVERSA de T, e especificamente qual é o valor de b_{31} (entrada da linha 3, coluna 1) entre as opções fornecidas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A regra de T fornece as coordenadas da imagem de um vetor (x,y,z).
Queremos a matriz B=A^{-1}, onde A é a matriz de T na base canônica.
A entrada pedida é b_{31}, ou seja o elemento da 3ª linha e 1ª coluna de A^{-1}.
Passo 2
Primeiro passo prático: montar a matriz A de T na base canônica. A coluna j de A é T(\mathbf{e}_j), onde \mathbf{e}_1=(1,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0), \mathbf{e}_3=(0,0,1).
Agora precisamos de B=A^{-1}. Uma forma direta e didática de calcular A^{-1} é usar eliminação de Gauss-Jordan: montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares de linha até obter [I\mid A^{-1}].
Breve explicação (mini-aula):
Operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) correspondem a multiplicar à esquerda por matrizes elementares invertíveis. Aplicando essas operações para transformar A em I efetivamente multiplica por A^{-1} à esquerda, e o bloco da direita fica igual a A^{-1}.
Objetivo: obter pivôs (1) na diagonal e zeros acima/abaixo, resultando em I à esquerda.