Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+y-z, 2 x-y+3 z, x-2 y+z).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{31} vale:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(-x+y-z,\;2x-y+3z,\;x-2y+z).
Pede para calcular B, a matriz que representa a INVERSA de T, e especificamente qual é o valor de b_{31} (entrada da linha 3, coluna 1) entre as opções fornecidas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A regra de T fornece as coordenadas da imagem de um vetor (x,y,z).
  • Queremos a matriz B=A^{-1}, onde A é a matriz de T na base canônica.
  • A entrada pedida é b_{31}, ou seja o elemento da 3ª linha e 1ª coluna de A^{-1}.

Passo 2

Primeiro passo prático: montar a matriz A de T na base canônica. A coluna j de A é T(\mathbf{e}_j), onde \mathbf{e}_1=(1,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0), \mathbf{e}_3=(0,0,1).
Calcular T(\mathbf{e}_1), T(\mathbf{e}_2), T(\mathbf{e}_3):
T(1,0,0)=(-1,\;2,\;1),
T(0,1,0)=(1,\;-1,\;-2),
T(0,0,1)=(-1,\;3,\;1).
Logo a matriz A é
A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\[4pt] 2 & -1 & 3\\[4pt] 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora precisamos de B=A^{-1}. Uma forma direta e didática de calcular A^{-1} é usar eliminação de Gauss-Jordan: montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares de linha até obter [I\mid A^{-1}].
Breve explicação (mini-aula):
  • Operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) correspondem a multiplicar à esquerda por matrizes elementares invertíveis. Aplicando essas operações para transformar A em I efetivamente multiplica por A^{-1} à esquerda, e o bloco da direita fica igual a A^{-1}.
  • Objetivo: obter pivôs (1) na diagonal e zeros acima/abaixo, resultando em I à esquerda.

Passo 4

Montar a matriz aumentada inicial [A\mid I]:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Para facilitar, vamos obter um 1 no pivô da primeira linha multiplicando a linha 1 por -1.]

Passo 5

Operação: R_1\leftarrow -R_1.
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Agora zerar as entradas abaixo do pivô (coluna 1).]

Passo 6

Operações:
R_2\leftarrow R_2-2R_1,
R_3\leftarrow R_3-R_1.
Calcular cada nova linha:
Para R_2:
  • Colunas da parte esquerda: 2-2\cdot1=0,\;-1-2\cdot(-1)=1,\;3-2\cdot1=1.
  • Parte direita: (0,1,0)-2(-1,0,0)=(0,1,0)-(-2,0,0)=(2,1,0).
Para R_3:
  • Colunas da parte esquerda: 1-1=0,\;-2-(-1)=-1,\;1-1=0.
  • Parte direita: (0,0,1)-(-1,0,0)=(1,0,1).
Fica:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 7

Zerar a entrada -1 em R_3 coluna 2 somando R_2: R_3\leftarrow R_3+R_2.
Cálculo:
  • Parte esquerda R_3: 0,\; -1+1=0,\;0+1=1.
  • Parte direita R_3: (1,0,1)+(2,1,0)=(3,1,1).
Agora:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 1 \end{array}\right).]

Passo 8

Agora temos pivôs em todas as colunas (1 na diagonal). Próximo passo: zerar as entradas acima dos pivôs para obter a identidade à esquerda.
Primeiro, zerar a coluna 3 nas linhas 1 e 2 usando R_3.
Operações:
R_2\leftarrow R_2-R_3,
R_1\leftarrow R_1-R_3.
Cálculos:
  • R_2 parte esquerda: (0,1,1)-(0,0,1)=(0,1,0).
    Parte direita: (2,1,0)-(3,1,1)=(-1,0,-1).
  • R_1 parte esquerda: (1,-1,1)-(0,0,1)=(1,-1,0).
    Parte direita: (-1,0,0)-(3,1,1)=(-4,-1,-1).
Fica:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 0 & -4 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 1 \end{array}\right).]

Passo 9

Finalmente zerar a entrada -1 em R_1 coluna 2 somando R_2 a R_1: R_1\leftarrow R_1+R_2.
Cálculo:
  • Parte esquerda R_1: (1,-1,0)+(0,1,0)=(1,0,0).
  • Parte direita R_1: (-4,-1,-1)+(-1,0,-1)=(-5,-1,-2).
A matriz aumentada final é
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -5 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 1 \end{array}\right).]

Passo 10

Concluímos que A^{-1}=B é a parte direita da aumentada:
B=A^{-1}=\begin{pmatrix} -5 & -1 & -2\\[4pt] -1 & 0 & -1\\[4pt] 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Portanto a entrada pedida é b_{31}, que é o elemento da linha 3 coluna 1 da matriz B.]

Resposta

(B) 3

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