Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(0,-4) e \vec{v}=(1,7). Se as coorden adas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(4,4) e [\vec{v}]_{\beta}=(-4,-3), ent ão \vec{b}_{1} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -9\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -8\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -7\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -6\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -5\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} de \mathbb{R}^{2}.
  • Os vetores no sistema canônico: \vec{u}=(0,-4) e \vec{v}=(1,7).
  • As coordenadas desses vetores na base \beta são [\vec{u}]_{\beta}=(4,4),\qquad [\vec{v}]_{\beta}=(-4,-3).
O que o enunciado pede: determinar \vec{b}_{1} (na lista de alternativas aparece apenas o segundo componente e um * para o primeiro componente).

Passo 2

Entendendo o que significam as coordenadas na base \beta.
Se [\vec{u}]_{\beta}=(4,4) isso significa que, em termos dos vetores da base,
\vec{u}=4\vec{b}_{1}+4\vec{b}_{2}.
Se [\vec{v}]_{\beta}=(-4,-3) significa
\vec{v}=-4\vec{b}_{1}-3\vec{b}_{2}.
Isto é porque as coordenadas dão os coeficientes na combinação linear dos vetores da base.

Passo 3

Escrever incógnitas para as componentes de \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2}.
Seja
\vec{b}_{1}=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},\qquad \vec{b}_{2}=\begin{pmatrix}p\q\end{pmatrix},
com x,y,p,q\in\mathbb{R}. Substituindo nas igualdades vetoriais obtemos dois sistemas (um para a primeira componente e outro para a segunda componente):
pela primeira componente
4x+4p=0,\qquad -4x-3p=1,
pela segunda componente
4y+4q=-4,\qquad -4y-3q=7.

Passo 4

Resolver o sistema das primeiras componentes (encontrar x e p).
Da primeira equação 4x+4p=0 dividindo por 4 fica
x+p=0\quad\Rightarrow\quad p=-x.
Substituindo em -4x-3p=1:
-4x-3(-x)=1 \quad\Rightarrow\quad -4x+3x=1 \quad\Rightarrow\quad -x=1.
Portanto
x=-1.
E assim
p=-x=1.

Passo 5

Resolver o sistema das segundas componentes (encontrar y e q).
Da equação 4y+4q=-4 dividindo por 4 obtemos
y+q=-1\quad\Rightarrow\quad q=-1-y.
Substituindo em -4y-3q=7:
-4y-3(-1-y)=7 \quad\Rightarrow\quad -4y+3+3y=7 \quad\Rightarrow\quad -y+3=7.
Isolando y:
-y=4 \quad\Rightarrow\quad y=-4.
E então
q=-1-y=-1-(-4)=3.

Passo 6

Concluir o valor de \vec{b}_{1}.
Encontramos
\vec{b}_{1}=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\\ -4\end{pmatrix}.
Observando as alternativas, o segundo componente é -4, que corresponde à alternativa (F).

Resposta

(F) \begin{pmatrix}-1\\\ -4\end{pmatrix}

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