Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} dada por T(x, y, z)=(2 x, x+y, y+z, x+y) :
a) Encontre a matriz canônica da transformação linear;
b) Determine uma base para a imagem dessa transformação.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 definida por
T(x,y,z) = (2x,\; x+y,\; y+z,\; x+y).
As perguntas são:
(a) Encontrar a matriz canônica (matriz padrão) de T em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^4.
(b) Determinar uma base para a imagem de T (ou seja, para \operatorname{Im}(T)).
Informações relevantes fornecidas: a fórmula de T que dá, para qualquer vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, as quatro coordenadas do vetor T(x,y,z)\in\mathbb{R}^4.
Passo 2
O que é a matriz canônica de T e como obtê-la (explicação passo a passo amigável).
A matriz canônica de T em relação às bases canônicas é a matriz A de tamanho 4\times3 cujas colunas são as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3.
A base canônica de \mathbb{R}^3 é e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1).
Logo, para construir A precisamos calcular T(e_1), T(e_2), T(e_3) e colocá-los como colunas, nesta ordem.
(Isto é padrão: a primeira coluna é T(e_1), a segunda é T(e_2), a terceira é T(e_3).)
onde a primeira coluna é T(e_1), a segunda é T(e_2) e a terceira é T(e_3).]
Passo 7
Entender o que é a imagem de T e como obter uma base para ela (passo didático).
A imagem \operatorname{Im}(T) é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^4 que aparecem como T(x,y,z).
Em termos da matriz A, \operatorname{Im}(T) é o espaço gerado pelas colunas de A (coluna 1, coluna 2, coluna 3). Ou seja, é o espaço coluna de A.
Uma base para \operatorname{Im}(T) pode ser obtida escolhendo colunas linearmente independentes de A que gerem todo o espaço coluna. Uma forma direta é testar se as três colunas são linearmente independentes; se sim, elas já formam uma base.
Passo 8
Testar linear independência das colunas (cálculo explícito).
Denotar as colunas por
Da primeira equação vem 2\alpha=0\Rightarrow \alpha=0\].
- Substituindo \(\alpha=0 na segunda equação dá \beta=0.
- Substituindo \beta=0 na terceira equação dá \gamma=0.
- A quarta equação fica 0+0=0, satisfeita automaticamente.
Como a única solução é \alpha=\beta=\gamma=0, as colunas c_1,c_2,c_3 são linearmente independentes.]
Passo 9
Concluir base para a imagem.
Como as três colunas são linearmente independentes, elas geram \operatorname{Im}(T) e formam uma base dessa imagem.
Logo uma base para \operatorname{Im}(T) é
\left\{(2,1,0,1),\;(0,1,1,1),\;(0,0,1,0)\right\}.
Também se conclui que \dim(\operatorname{Im}(T))=3 (posto da matriz A é 3).
Passo 10
Recapitulando de forma curta e dando um empurrão final: a matriz canônica veio juntando T(e_1),T(e_2),T(e_3) como colunas; em seguida verifiquei a independência linear examinando a combinação linear que iguala zero. Você já tem aqui os passos que precisa reproduzir na prova: aplicar T aos vetores da base canônica, montar a matriz e testar independência das colunas escrevendo o sistema componente a componente. Vai dar certo — respira e confia no processo!