Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} dada por T(x, y, z)=(2 x, x+y, y+z, x+y) :
a) Encontre a matriz canônica da transformação linear;
b) Determine uma base para a imagem dessa transformação.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 definida por
T(x,y,z) = (2x,\; x+y,\; y+z,\; x+y).
As perguntas são:
(a) Encontrar a matriz canônica (matriz padrão) de T em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^4.
(b) Determinar uma base para a imagem de T (ou seja, para \operatorname{Im}(T)).
Informações relevantes fornecidas: a fórmula de T que dá, para qualquer vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, as quatro coordenadas do vetor T(x,y,z)\in\mathbb{R}^4.

Passo 2

O que é a matriz canônica de T e como obtê-la (explicação passo a passo amigável).
  • A matriz canônica de T em relação às bases canônicas é a matriz A de tamanho 4\times3 cujas colunas são as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3.
  • A base canônica de \mathbb{R}^3 é e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1).
  • Logo, para construir A precisamos calcular T(e_1), T(e_2), T(e_3) e colocá-los como colunas, nesta ordem.
    (Isto é padrão: a primeira coluna é T(e_1), a segunda é T(e_2), a terceira é T(e_3).)

Passo 3

Calcular T(e_1).
  • Substituir (x,y,z)=(1,0,0) na fórmula de T.
T(1,0,0) = (2\cdot1,\; 1+0,\; 0+0,\; 1+0) = (2,\;1,\;0,\;1).
Portanto a primeira coluna será \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular T(e_2).
  • Substituir (x,y,z)=(0,1,0).
T(0,1,0) = (2\cdot0,\; 0+1,\; 1+0,\; 0+1) = (0,\;1,\;1,\;1).
Portanto a segunda coluna será \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Calcular T(e_3).
  • Substituir (x,y,z)=(0,0,1).
T(0,0,1) = (2\cdot0,\; 0+0,\; 0+1,\; 0+0) = (0,\;0,\;1,\;0).
Portanto a terceira coluna será \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 6

Montar a matriz canônica A usando as colunas calculadas.
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é T(e_1), a segunda é T(e_2) e a terceira é T(e_3).]

Passo 7

Entender o que é a imagem de T e como obter uma base para ela (passo didático).
  • A imagem \operatorname{Im}(T) é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^4 que aparecem como T(x,y,z).
  • Em termos da matriz A, \operatorname{Im}(T) é o espaço gerado pelas colunas de A (coluna 1, coluna 2, coluna 3). Ou seja, é o espaço coluna de A.
  • Uma base para \operatorname{Im}(T) pode ser obtida escolhendo colunas linearmente independentes de A que gerem todo o espaço coluna. Uma forma direta é testar se as três colunas são linearmente independentes; se sim, elas já formam uma base.

Passo 8

Testar linear independência das colunas (cálculo explícito).
Denotar as colunas por
c_1=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\qquad c_3=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Procuramos \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}\) tais que \[\alpha c_1 + \beta c_2 + \gamma c_3 = \mathbf{0}.
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema (cada linha é uma equação):
\begin{cases} 2\alpha + 0\beta + 0\gamma = 0,\\[4pt] \alpha + \beta + 0\gamma = 0,\\[4pt] 0\alpha + \beta + \gamma = 0,\\[4pt] \alpha + \beta + 0\gamma = 0. \end{cases}
Resolver passo a passo:
  • Da primeira equação vem 2\alpha=0\Rightarrow \alpha=0\]. - Substituindo \(\alpha=0 na segunda equação dá \beta=0.
    - Substituindo \beta=0 na terceira equação dá \gamma=0.
    - A quarta equação fica 0+0=0, satisfeita automaticamente.
    Como a única solução é \alpha=\beta=\gamma=0, as colunas c_1,c_2,c_3 são linearmente independentes.]

Passo 9

Concluir base para a imagem.
  • Como as três colunas são linearmente independentes, elas geram \operatorname{Im}(T) e formam uma base dessa imagem.
  • Logo uma base para \operatorname{Im}(T) é
\left\{(2,1,0,1),\;(0,1,1,1),\;(0,0,1,0)\right\}.
  • Também se conclui que \dim(\operatorname{Im}(T))=3 (posto da matriz A é 3).

Passo 10

Recapitulando de forma curta e dando um empurrão final: a matriz canônica veio juntando T(e_1),T(e_2),T(e_3) como colunas; em seguida verifiquei a independência linear examinando a combinação linear que iguala zero. Você já tem aqui os passos que precisa reproduzir na prova: aplicar T aos vetores da base canônica, montar a matriz e testar independência das colunas escrevendo o sistema componente a componente. Vai dar certo — respira e confia no processo!

Resposta

(a) A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
(b) \{(2,1,0,1),\\ (0,1,1,1),\\ (0,0,1,0)\}]

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