Determine se a transformação linear é injetora, sobrejetora e invertível.
A=\left[\begin{array}{lll}4 & 0 & 7 \\\\ 5 & 5 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede que eu determine se a transformação linear dada pela matriz A é injetora, sobrejetora e invertível. A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 7\\[4pt] 5 & 5 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
  • A é uma matriz 3\times3.
  • Não há outras informações além dos elementos desta matriz.]

Passo 2

Vou lembrar o que cada termo significa, de forma bem direta e prática:
  • Injetora: a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 associada a A é injetora se vetores diferentes do domínio têm imagens diferentes. Em álgebra linear isso é equivalente a dizer que o núcleo (kernel) de A é \{0\} — ou seja, a única solução da equação A\mathbf{x}=\mathbf{0} é \mathbf{x}=\mathbf{0}.
  • Sobrejetora: T é sobrejetora se para todo vetor no contradomínio existe pelo menos um vetor no domínio que é mapeado nele. Para transformações entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita (aqui ambos têm dimensão 3), sobrejetividade é equivalente a injetividade; ambos equivalem a A ter posto máximo (posto 3 aqui).
  • Invertível: A é invertível (ou seja, existe A^{-1}) exatamente quando a transformação linear é bijetora (injetora e sobrejetora). Para matrizes quadradas, uma forma prática de testar invertibilidade é calcular o determinante: \det(A)\neq 0 se e somente se A é invertível.
Resumo prático que vou usar: para uma matriz quadrada 3\times3,
\det(A)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A \text{ é invertível }\quad\Longleftrightarrow\quad A \text{ é injetora e sobrejetora.}éíé

Passo 3

Explico por que vou usar o determinante: o enunciado não exige um método específico e, para matrizes quadradas, calcular \det(A) é o jeito mais direto de concluir injetividade/sobrejetividade/inversibilidade sem resolver sistemas ou encontrar a inversa explicitamente. Além disso, a estrutura da matriz (ter zeros em posições convenientes) facilita o cálculo do determinante por expansão.

Passo 4

Vou calcular \det(A) usando a expansão por cofatores ao longo da terceira linha, porque nela há dois zeros, o que simplifica bastante. A fórmula da expansão pela terceira linha é
\det(A)=a_{31}C_{31}+a_{32}C_{32}+a_{33}C_{33},
onde a_{3j} são os elementos da terceira linha e C_{3j} os cofatores correspondentes.
Aqui, os elementos da terceira linha são a_{31}=0, a_{32}=0, a_{33}=2. Portanto só o último termo contribui:
\det(A)=a_{33}C_{33}=2\cdot C_{33}.
O cofactor C_{33} é (-1)^{3+3} vezes o determinante do menor M_{33} (a matriz que fica ao riscar a terceira linha e terceira coluna). Como (-1)^{6}=+1, temos
C_{33}=\det(M_{33}).
O menor M_{33} é a matriz 2\times2
M_{33}=\begin{pmatrix}4 & 0\\[4pt] 5 & 5\end{pmatrix},
cujo determinante é
\det(M_{33})=4\cdot 5 - 0\cdot 5 = 20.
Assim
\det(A)=2\cdot 20 = 40.]

Passo 5

Interpretação do resultado: \det(A)=40\neq 0. Pelas equivalências que expliquei antes, isso implica que:
  • A é invertível (existe A^{-1}).
  • A transformação linear associada a A é injetora (núcleo trivial).
  • Como domínio e contradomínio têm a mesma dimensão ( \mathbb{R}^3), a transformação também é sobrejetora.

Passo 6

Brete rápido de intuição, para você usar na prova: quando a determinante é não nulo a matriz não “aperta” nenhuma direção até zero — nenhuma combinação não trivial de colunas dá o vetor zero — por isso o núcleo é só o vetor zero (injetividade). Como as colunas são linearmente independentes e há três colunas em \mathbb{R}^3, elas formam base, então todo vetor em \mathbb{R}^3 é combinação linear delas (sobrejetividade), e por fim existe uma matriz inversa que desfaz a transformação (invertibilidade). Calma — esse raciocínio é uma tradução geométrica do teste do determinante.

Resposta

Injetora: sim
Sobrejetora: sim
Invertível: sim

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