Considere a transformação linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} definida por
T(x, y, z)=(x+y, y+z, x+z).
a) Determine a matriz associada a T na base canônica.
b) Verifique se o conjunto \mathrm{B}=\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\} é uma base de R 3 .
c) Determine [\mathrm{T}(\mathrm{v})]_{\mathrm{B}}

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x+y,\;y+z,\;x+z).
As perguntas são:
a) Determinar a matriz associada a T na base canônica de \mathbb{R}^3.
b) Verificar se o conjunto \mathrm{B}=\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\} é uma base de \mathbb{R}^3.
c) Determinar [\;T(v)\;]_{\mathrm{B}} para um vetor genérico v\in\mathbb{R}^3.
Informações relevantes dadas:
  • A fórmula de T para qualquer vetor (x,y,z).
  • A lista de vetores que formam o conjunto \mathrm{B}.

Passo 2

Encontrar a matriz de T na base canônica: método e cálculo passo a passo.
Explicação do método (bem mastigado): a matriz associada a uma transformação linear T na base canônica tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica. A base canônica de \mathbb{R}^3 é \{e_1,e_2,e_3\} com
e_1=(1,0,0),\qquad e_2=(0,1,0),\qquad e_3=(0,0,1).
Para cada e_i calculamos T(e_i) e colocamos esses vetores como colunas da matriz.
Cálculo:
  • Para e_1=(1,0,0): \;T(e_1)=T(1,0,0)=(1+0,\;0+0,\;1+0)=(1,0,1).
  • Para e_2=(0,1,0): \;T(e_2)=T(0,1,0)=(0+1,\;1+0,\;0+0)=(1,1,0).
  • Para e_3=(0,0,1): \;T(e_3)=T(0,0,1)=(0+0,\;0+1,\;0+1)=(0,1,1).
Colocando essas colunas na ordem (T(e_1),T(e_2),T(e_3)) obtemos a matriz de T na base canônica:
A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Verificar se \mathrm{B}=\{b_1,b_2,b_3\} com
b_1=(1,1,0),\qquad b_2=(1,0,1),\qquad b_3=(0,1,1)
é uma base de \mathbb{R}^3.
Explicação do critério: um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3 é base se e só se for linearmente independente (equivalente a formar uma matriz invertível). Para testar independência, montamos a matriz P cujas colunas são b_1,b_2,b_3 e calculamos o determinante. Se \det(P)\neq0, então os vetores são linearmente independentes e formam uma base.
Formando P:
P= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é b_1, a segunda é b_2 e a terceira é b_3.
Cálculo do determinante (expansão por co-fatores na primeira linha, por exemplo):
\det(P) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora os menores:
\det\!\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot1=-1,
\det\!\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot0=1.
Logo
\det(P)=1\cdot(-1)-1\cdot(1)=-1-1=-2.
Como \det(P)=-2\neq0, a matriz P é invertível e os vetores b_1,b_2,b_3 são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3. Portanto \mathrm{B} é uma base de \mathbb{R}^3.
Observação prática e amigável: determinante diferente de zero = bonitinho, base validada — respira e segue.]

Passo 4

Determinar [[;T(v);]_{\mathrm{B}}) para um vetor genérico v=(x,y,z).
Plano: primeiro escrevo T(v) nas coordenadas canônicas, depois expresso esse vetor como combinação linear dos vetores da base \mathrm{B} e resolvo para os coeficientes (essas serão as coordenadas de T(v) na base \mathrm{B}).
  1. Calcular T(v) em coordenadas canônicas:
T(v)=T(x,y,z)=(x+y,\;y+z,\;x+z).
  1. Procurar \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha\,b_1+\beta\,b_2+\gamma\,b_3=T(v).
Escrevendo isso por componentes:
\alpha(1,1,0)+\beta(1,0,1)+\gamma(0,1,1)=(x+y,\;y+z,\;x+z).
Isto gera o sistema linear em \alpha,\beta,\gamma (comparando cada componente):
\begin{cases} \alpha+\beta = x+y,\\[4pt] \alpha+\gamma = y+z,\\[4pt] \beta+\gamma = x+z. \end{cases}
  1. Resolver o sistema (passo a passo, sem pular etapas):
  • Somar as duas primeiras equações:
(\alpha+\beta)+(\alpha+\gamma)= (x+y)+(y+z)\quad\Longrightarrow\quad 2\alpha+(\beta+\gamma)=x+2y+z.
  • Mas pela terceira equação \beta+\gamma=x+z\]. Substituindo: \[2\alpha+(x+z)=x+2y+z\quad\Longrightarrow\quad 2\alpha=2y\quad\Longrightarrow\quad \alpha=y.\] - Com \(\alpha=y, da primeira equação: y+\beta=x+y então \beta=x.
    - Com \alpha=y, da segunda equação: y+\gamma=y+z então \gamma=z.
Portanto os coeficientes que escrevem T(v) na base \mathrm{B} são \alpha=y,\;\beta=x,\;\gamma=z.
  1. Conclusão: o vetor de coordenadas de T(v) na base \mathrm{B} (ordenado na mesma ordem dos vetores em \mathrm{B}) é
[\;T(v)\;]_{\mathrm{B}}=(\alpha,\beta,\gamma)=(y,\;x,\;z).
Nota rápida (opcional, só para complementar a visão): outra forma matricial de ver isso é montar P com colunas b_1,b_2,b_3 e observar que
[\;T(v)\;]_{\mathrm{B}}=P^{-1}\,[\;T(v)\;]_{\text{can}},
onde [\;T(v)\;]_{\text{can}}=(x+y,y+z,x+z)^\top. Fazendo a conta dá o mesmo resultado (y,x,z)^\top.]

Resposta

a) \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
b) Sim. \mathrm{B} é uma base de \mathbb{R}^3 (pois \det(P)=-2\neq0, onde P tem colunas os vetores de \mathrm{B}).
c) [\;T(v)\;]_{\mathrm{B}}=(y,\;x,\;z)]

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