Considere a transformação linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} definida por T(x, y, z)=(x+y, y+z, x+z).
a) Determine a matriz associada a T na base canônica.
b) Verifique se o conjunto \mathrm{B}=\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\} é uma base de R 3 .
c) Determine [\mathrm{T}(\mathrm{v})]_{\mathrm{B}}
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x+y,\;y+z,\;x+z).
As perguntas são:
a) Determinar a matriz associada a T na base canônica de \mathbb{R}^3.
b) Verificar se o conjunto \mathrm{B}=\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\} é uma base de \mathbb{R}^3.
c) Determinar [\;T(v)\;]_{\mathrm{B}} para um vetor genérico v\in\mathbb{R}^3.
Informações relevantes dadas:
A fórmula de T para qualquer vetor (x,y,z).
A lista de vetores que formam o conjunto \mathrm{B}.
Passo 2
Encontrar a matriz de T na base canônica: método e cálculo passo a passo.
Explicação do método (bem mastigado): a matriz associada a uma transformação linear T na base canônica tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica. A base canônica de \mathbb{R}^3 é \{e_1,e_2,e_3\} com
Explicação do critério: um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3 é base se e só se for linearmente independente (equivalente a formar uma matriz invertível). Para testar independência, montamos a matriz P cujas colunas são b_1,b_2,b_3 e calculamos o determinante. Se \det(P)\neq0, então os vetores são linearmente independentes e formam uma base.
Como \det(P)=-2\neq0, a matriz P é invertível e os vetores b_1,b_2,b_3 são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3. Portanto \mathrm{B} é uma base de \mathbb{R}^3.
Observação prática e amigável: determinante diferente de zero = bonitinho, base validada — respira e segue.]
Passo 4
Determinar [[;T(v);]_{\mathrm{B}}) para um vetor genérico v=(x,y,z).
Plano: primeiro escrevo T(v) nas coordenadas canônicas, depois expresso esse vetor como combinação linear dos vetores da base \mathrm{B} e resolvo para os coeficientes (essas serão as coordenadas de T(v) na base \mathrm{B}).
Calcular T(v) em coordenadas canônicas:
T(v)=T(x,y,z)=(x+y,\;y+z,\;x+z).
Procurar \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
Mas pela terceira equação \beta+\gamma=x+z\]. Substituindo:
\[2\alpha+(x+z)=x+2y+z\quad\Longrightarrow\quad 2\alpha=2y\quad\Longrightarrow\quad \alpha=y.\]
- Com \(\alpha=y, da primeira equação: y+\beta=x+y então \beta=x.
- Com \alpha=y, da segunda equação: y+\gamma=y+z então \gamma=z.
Portanto os coeficientes que escrevem T(v) na base \mathrm{B} são \alpha=y,\;\beta=x,\;\gamma=z.
Conclusão: o vetor de coordenadas de T(v) na base \mathrm{B} (ordenado na mesma ordem dos vetores em \mathrm{B}) é
b) Sim. \mathrm{B} é uma base de \mathbb{R}^3 (pois \det(P)=-2\neq0, onde P tem colunas os vetores de \mathrm{B}).
c) [\;T(v)\;]_{\mathrm{B}}=(y,\;x,\;z)]