Considere
definida por
.
a) Determine o núcleo de T.
b) Determine uma base para
.
c) Determine a dimensão do núcleo.
d) Determine a imagem de T.
e) Verifique se T é injetora e/ou sobrejetora.
a) Determine o núcleo de T.
b) Determine uma base para
c) Determine a dimensão do núcleo.
d) Determine a imagem de T.
e) Verifique se T é injetora e/ou sobrejetora.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
As perguntas pedem:
a) Determinar o núcleo de (isto é,
).
b) Determinar uma base para .
c) Determinar a dimensão de .
d) Determinar a imagem de (isto é,
).
e) Verificar se é injetora e/ou sobrejetora.
a) Determinar o núcleo de
b) Determinar uma base para
c) Determinar a dimensão de
d) Determinar a imagem de
e) Verificar se
Passo 2
O que é o núcleo (definição e fórmula que vamos usar).
Por definição, o núcleo de uma transformação linear é o conjunto de vetores do domínio que vão para o vetor zero do contradomínio:
Por definição, o núcleo de uma transformação linear
Então devemos resolver o sistema obtido impondo
. Escrevendo as componentes temos as equações
Agora vamos resolver essas equações passo a passo.]
Passo 3
Resolver o sistema e parametrizar a solução.
Da primeira equação segue
.
Da segunda equação segue
.
Podemos tomar como parâmetro livre; seja
. Então
Da primeira equação
Da segunda equação
Podemos tomar
Escrevendo o vetor solução em função de
:
Portanto todos os vetores do núcleo são múltiplos escalares do vetor
.
Passo 4
Concluir a forma do núcleo e escolher uma base.
Pelo passo anterior,
Pelo passo anterior,
Uma base natural para esse subespaço é o conjunto formado por um vetor gerador não nulo. Como
, então
é uma base de
.
Passo 5
Determinar a dimensão do núcleo (definição e cálculo).
A dimensão de um subespaço é o número de vetores de uma base. Como acabamos de dar uma base de com um único vetor, temos
A dimensão de um subespaço é o número de vetores de uma base. Como acabamos de dar uma base de
Passo 6
Determinar a imagem de
(definição, método prático e cálculo).
Por definição,
Por definição,
Um método prático é olhar as imagens dos vetores da base canônica de
. Se
,
,
, então
Logo
Podemos simplificar a geração: note que
pois
e
. Como
e
geram todo
, concluímos que
Em termos de dimensão, a imagem tem dimensão
(isto é, posto
). Isso também é consistente com o teorema do posto-nulidade:
.
Passo 7
Verificar injetividade e sobrejetividade (definições e conclusão).
- Injetividade:
é injetora se e somente se . Aqui contém vetores não nulos (por exemplo ), portanto não é injetora. - Sobrejetividade:
é sobrejetora se . Já mostramos que , portanto é sobrejetora.
Resposta
a)
b) Uma base de é
c)
d)
e) não é injetora e é sobrejetora.
b) Uma base de
c)
d)
e)