Considere T: R^{3} \rightarrow R^{2} definida por T(x, y, z)=(x+y, y-z).
a) Determine o núcleo de T.
b) Determine uma base para \operatorname{ker}(\mathrm{T}).
c) Determine a dimensão do núcleo.
d) Determine a imagem de T.
e) Verifique se T é injetora e/ou sobrejetora.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z)=(x+y,\;y-z).
As perguntas pedem:
a) Determinar o núcleo de T (isto é, \ker(T)).
b) Determinar uma base para \ker(T).
c) Determinar a dimensão de \ker(T).
d) Determinar a imagem de T (isto é, \operatorname{Im}(T)).
e) Verificar se T é injetora e/ou sobrejetora.

Passo 2

O que é o núcleo (definição e fórmula que vamos usar).
Por definição, o núcleo de uma transformação linear T é o conjunto de vetores do domínio que vão para o vetor zero do contradomínio:
\ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid T(x,y,z)=(0,0)\}.
Então devemos resolver o sistema obtido impondo T(x,y,z)=(0,0). Escrevendo as componentes temos as equações
\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] y-z=0. \end{cases}
Agora vamos resolver essas equações passo a passo.]

Passo 3

Resolver o sistema e parametrizar a solução.
Da primeira equação x+y=0 segue x=-y.
Da segunda equação y-z=0 segue z=y.
Podemos tomar y como parâmetro livre; seja t=y\in\mathbb{R}. Então
x=-t,\qquad y=t,\qquad z=t.
Escrevendo o vetor solução em função de t:
(x,y,z)=(-t,\;t,\;t)=t\cdot(-1,1,1).
Portanto todos os vetores do núcleo são múltiplos escalares do vetor (-1,1,1).

Passo 4

Concluir a forma do núcleo e escolher uma base.
Pelo passo anterior,
\ker(T)=\{t\cdot(-1,1,1)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(-1,1,1)\}.
Uma base natural para esse subespaço é o conjunto formado por um vetor gerador não nulo. Como (-1,1,1)\neq(0,0,0), então
\{\;(-1,1,1)\;\}
é uma base de \ker(T).

Passo 5

Determinar a dimensão do núcleo (definição e cálculo).
A dimensão de um subespaço é o número de vetores de uma base. Como acabamos de dar uma base de \ker(T) com um único vetor, temos
\dim\big(\ker(T)\big)=1.

Passo 6

Determinar a imagem de T (definição, método prático e cálculo).
Por definição,
\operatorname{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^3\}\subseteq\mathbb{R}^2.
Um método prático é olhar as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3. Se e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1), então
T(e_1)=T(1,0,0)=(1+0,\;0-0)=(1,0),
T(e_2)=T(0,1,0)=(0+1,\;1-0)=(1,1),
T(e_3)=T(0,0,1)=(0+0,\;0-1)=(0,-1).
Logo
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,0),\,(1,1),\,(0,-1)\}.
Podemos simplificar a geração: note que
(1,0)\in\operatorname{Im}(T) \quad\text{e}\quad (0,1)=(1,1)-(1,0)\in\operatorname{Im}(T),
pois (1,1)=T(e_2) e (1,0)=T(e_1). Como (1,0) e (0,1) geram todo \mathbb{R}^2, concluímos que
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.
Em termos de dimensão, a imagem tem dimensão 2 (isto é, posto \operatorname{rank}(T)=2). Isso também é consistente com o teorema do posto-nulidade: \dim(\ker(T))+ \operatorname{rank}(T)=3\Rightarrow 1+\operatorname{rank}(T)=3\Rightarrow \operatorname{rank}(T)=2.

Passo 7

Verificar injetividade e sobrejetividade (definições e conclusão).
  • Injetividade: T é injetora se e somente se \ker(T)=\{(0,0,0)\}. Aqui \ker(T) contém vetores não nulos (por exemplo (-1,1,1)), portanto T não é injetora.
  • Sobrejetividade: T é sobrejetora se \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2. Já mostramos que \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2, portanto T é sobrejetora.

Resposta

a) \ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x=-y,\\ z=y\}=\operatorname{span}\{(-1,1,1)\}.
b) Uma base de \ker(T) é \{\;(-1,1,1)\;\}.
c) \dim(\ker(T))=1.
d) \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2=\operatorname{span}\{(1,0),(1,1)\}.
e) T não é injetora e é sobrejetora.

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