Considere um transformador trifásico na configuração delta-estrela (primário e secundário respectivamente), tensão da fase A em relação à fase B igual a U com ângulo de zero grau. Sabendo que a relação de espiras entre o primário e secundário é de 100:1.
Considere a sequência de fases \mathbf{A B C}. A tensão da fase A em relação à fase B no secundário é:
A) U/100 e ângulo de 30^{\circ}
B) U/100 e ângulo de zero grau
C) U \sqrt{ } 3 / 100 e ângulo de -30^{\circ}
D) U \sqrt{ } 3 / 100 e ângulo de zero grau
E) U \sqrt{ } 3 / 100 e ângulo de 30^{\circ}

Passo 1

O enunciado e os dados que temos (resumindo claramente):
  • É um transformador trifásico com primário em delta e secundário em estrela (delta → estrela).
  • A relação de espiras entre primário e secundário é de 100\!:\!1 (ou seja, a tensão no secundário por enrolamento é \tfrac{1}{100} da tensão no enrolamento correspondente do primário).
  • A sequência de fases é \mathbf{A\,B\,C}.
  • A tensão entre as fases A e B no primário (linha A em relação à linha B) é \,U\angle 0^\circ.
  • O que se pede: a tensão da fase A em relação à fase B no secundário (ou seja, a tensão entre as linhas A e B no secundário), em módulo e ângulo, para comparar com as alternativas.

Passo 2

Entendendo as convenções e o que transforma:
  • Em delta, cada enrolamento do primário está ligado entre duas linhas (por exemplo, um enrolamento entre linhas A e B tem tensão igual à tensão de linha V_{AB}^{(p)}).
  • Em estrela (secundário), cada enrolamento fornece uma tensão de fase em relação ao neutro (por exemplo V_{aN} para a fase a).
  • Cada par de enrolamentos correspondentes (primário ↔ secundário) tem a mesma relação de espiras; portanto a tensão no enrolamento secundário é a tensão do enrolamento primário dividida por 100 (assumindo mesma orientação de pontos).
  • Vou assumir a associação padrão em que o enrolamento primário entre linhas A e B corresponde ao enrolamento secundário da fase a; analogamente primário B\!-\!C → secundário b, e C\!-\!A c. (Isso é a associação típica para delta→estrela mantendo a sequência \mathbf{A B C}.)

Passo 3

Escrever as tensões do primário como fasores, usando sequência \mathbf{A B C} e sabendo que V_{AB}^{(p)}=U\angle 0^\circ. As demais tensões de linha primárias, por simetria, são:
V_{AB}^{(p)} = U\angle 0^\circ,\qquad V_{BC}^{(p)} = U\angle -120^\circ,\qquad V_{CA}^{(p)} = U\angle 120^\circ.
(Isto porque, para sistema equilibrado com sequência A B C, as tensões de linha estão defasadas de 120^\circ.)

Passo 4

Determinar as tensões de fase do secundário (fase em relação ao neutro):
  • Cada tensão de fase secundária é a tensão do enrolamento primário correspondente dividida por 100. Assim:
V_{aN}=\frac{V_{AB}^{(p)}}{100}=\frac{U}{100}\angle 0^\circ, \qquad V_{bN}=\frac{V_{BC}^{(p)}}{100}=\frac{U}{100}\angle -120^\circ.

Passo 5

A tensão linha a linha no secundário entre A e B é a diferença das tensões de fase:
V_{AB}^{(s)} = V_{aN}-V_{bN}.
Substituindo os valores:
V_{AB}^{(s)} = \frac{U}{100}\Big(1 - \mathrm{e}^{-j120^\circ}\Big).

Passo 6

Calcular explicitamente 1-\mathrm{e}^{-j120^\circ}. Usando \mathrm{e}^{-j120^\circ}=\cos120^\circ - j\sin120^\circ e \cos120^\circ=-\tfrac{1}{2}, \sin120^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
\mathrm{e}^{-j120^\circ} = -\tfrac{1}{2} - j\tfrac{\sqrt{3}}{2},
portanto
1-\mathrm{e}^{-j120^\circ} = 1 -\big(-\tfrac{1}{2} - j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big) = \tfrac{3}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 7

Calcular módulo e argumento de \tfrac{3}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Módulo:
\left|\tfrac{3}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right| = \tfrac{1}{2}\sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \tfrac{1}{2}\sqrt{9+3} = \tfrac{1}{2}\sqrt{12} = \sqrt{3}.
  • Ângulo:
\arg\!\left(\tfrac{3}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \arctan\!\left(\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{3}{2}}\right) = \arctan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 30^\circ.

Passo 8

Juntando tudo, a tensão linha A em relação à linha B no secundário é
V_{AB}^{(s)} = \frac{U}{100}\,\sqrt{3}\angle 30^\circ = \frac{U\sqrt{3}}{100}\angle 30^\circ.
Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa E.

Passo 9

Resumo didático rápido para a prova (como lembrar):
  • Em delta→estrela, cada enrolamento transforma a tensão entre as duas linhas do primário numa tensão de fase (linha-neutro) do secundário com o fator de espiras.
  • A tensão linha–linha do secundário é a diferença entre duas tensões de fase secundárias; ao subtrair fasores defasados de 120^\circ aparece um fator \sqrt{3} e um deslocamento de 30^\circ.
  • Resultado típico: tensão linha–linha secundária tem magnitude \tfrac{\text{tensão linha–linha primária}}{\text{turns ratio}}\times\sqrt{3}ãá e leva um deslocamento de +30^\circ (para a associação usada aqui com sequência A B C).

Resposta

E) \dfrac{U\sqrt{3}}{100}\angle 30^\circ

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