Considere uma tuba que possui uma extremidade aberta e outra fechada. O tamanho da tuba é 1 m , a velocidade do som é
. Considere que a onda sonora na tuba está no quarto harmônico. Encontrar:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma tuba com uma extremidade aberta e outra fechada, medida 1 metro. A velocidade do som é de 340 m/s, e a onda sonora está no quarto harmônico. Nosso objetivo é encontrar a expressão da onda, que é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os harmônicos em tubos com uma extremidade fechada e utilizar algumas fórmulas de ondas sonoras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em tubos com uma extremidade fechada e outra aberta, os harmônicos que podem existir são os ímpares: 1º, 3º, 5º, etc. Isso porque o fechamento em uma extremidade força um nó (ponto onde não há movimento) ali, e o outro extremo aberto tem um antinó (ponto de máxima oscilação).
Mas a questão fala sobre o quarto harmônico, o que normalmente não seria possível em tubos com uma extremidade fechada, pois eles só suportam harmônicos ímpares. Parece que pode haver um erro na questão ou talvez uma interpretação diferente seja necessária.
Passo 3
Vamos supor que a referência a “quarto harmônico” na questão esteja correta e que, de alguma forma, estamos considerando o quarto harmônico real. Sabemos que a frequência de um harmônico $ n $ em um tubo fechado é dada por:
onde:
- $ v $ é a velocidade do som,
- $ L $ é o comprimento do tubo,
- $ n $ é o número do harmônico.
Para tubos fechados, $ n $ é ímpar, mas vamos prosseguir com o quarto harmônico.
Passo 4
Agora, vamos calcular o número de onda $ k $ e a frequência angular $ \omega $.
O número de onda $ k $ é dado por:
onde $ \lambda $ é o comprimento de onda.
A frequência angular $ \omega $ é:
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar a frequência $ f $ do quarto harmônico usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos achar o comprimento de onda $ \lambda $. Sabemos que a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda é:
Rearranjando para encontrar $ \lambda $:
Passo 7
Com o comprimento de onda, podemos calcular o número de onda $ k $:
Passo 8
Agora, calculamos a frequência angular $ \omega $:
Passo 9
Finalmente, substituímos $ k $ e $ \omega $ na expressão da onda:
Resposta
A expressão da onda sonora no quarto harmônico é: