Seja um corpo de massa 8 kg rm uma região com energia potencial 12 x^4-24 x^2-13. Se este corpo é lançado da origem com velocidade de 6 m / s e está sujeito a uma força externa F(t)= 4 cos (2 t), encontre:
x(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de física onde um corpo de 8 kg está se movendo em uma região com uma energia potencial dada por $ U(x) = 12x^{4} - 24x^{2} - 13 $. Esse corpo é lançado da origem com uma velocidade de 6 m/s e está sendo influenciado por uma força externa que varia com o tempo, dada por $ F(t) = 4 \cos(2t) $. Nosso objetivo é encontrar a posição $ x(t) $ desse corpo ao longo do tempo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton aplicada a sistemas com energia potencial e forças externas. Também vamos precisar lidar com equações diferenciais, já que a posição depende do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela sua aceleração:
Fresu
Onde $ a $ é a aceleração, que é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, $ a = \frac{d{2}x}{dt{2}} $.

Passo 3

Agora, a força resultante no nosso caso é composta por duas partes:
  1. A força derivada da energia potencial $ U(x) $.
  2. A força externa $ F(t) $.
A força derivada da energia potencial é dada por:
U(x)
Vamos calcular essa derivada:
F(t)
Portanto,
Fpotencial = -dUdx

Passo 4

A força externa é dada por $ F(t) = 4 \cos(2t) $. Então, a força resultante total que age no corpo é:
F(t) = 4 cos(2t)

Passo 5

Aplicando a segunda lei de Newton:
Fresu
Substituindo:
-48x^3 + 48x + 4 cos(2t) = 8 cdot d^2xdt^2
Dividindo ambos os lados por 8 para simplificar:
d^2xdt^2 = -48x^3 + 48x + 4 cos(2t)8
d^2xdt^2 = -6x^3 + 6x + 0.5 cos(2t)

Passo 6

Então, temos a seguinte equação diferencial:
d^2xdt^2 + 6x^3 - 6x = 0.5 cos(2t)
Essa é uma equação diferencial não linear devido ao termo $ x^{3} $. Resolver essa equação exatamente pode ser complicado, mas vamos fazer uma simplificação assumindo que as oscilações são pequenas. Se as oscilações são pequenas, o termo $ x^{3} $ pode ser negligenciado, simplificando a equação para:
x^3

Passo 7

Agora, temos uma equação diferencial linear:
d^2xdt^2 - 6x = 0.5 cos(2t)
Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução da equação homogênea ($ \frac{d{2}x}{dt{2}} - 6x = 0 $) e uma solução particular para a equação completa.

Passo 8

A solução geral da equação homogênea é:
xh(t) = C1 e^raiz6 t + C2 e^-raiz6 t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinaremos com as condições iniciais.

Passo 9

Para encontrar a solução particular, vamos assumir uma solução da forma:
xp(t) = A cos(2t) + B sin(2t)
Onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem encontradas.

Passo 10

Vamos derivar $ x_p(t) $:
xp(t)
dxpdt = -2A sin(2t) + 2B cos(2t)
Substituindo na equação diferencial:
d^2xpdt^2 = -4A cos(2t) - 4B sin(2t)
Simplificando:
-4A cos(2t) - 4B sin(2t) - 6(A cos(2t) + B sin(2t)) = 0.5 cos(2t)
(-4A - 6A) cos(2t) + (-4B - 6B) sin(2t) = 0.5 cos(2t)

Passo 11

Igualando os coeficientes das funções cosseno e seno:
-10A = 0.5
-10B = 0
Resolvendo:
A = -0.05
B = 0
Então, a solução particular é:
xp(t) = -0.05 cos(2t)

Passo 12

Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
x(t) = C1 e^raiz6 t + C2 e^-raiz6 t - 0.05 cos(2t)

Passo 13

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
A primeira condição é que a posição na origem é zero:
C1
C2
A segunda condição é que a velocidade inicial é 6 m/s. Vamos derivar $ x(t) $ para encontrar a velocidade:
x(0) = C1 + C2 - 0.05 = 0
Aplicando $ t = 0 $:
C1 + C2 = 0.05
x(t)
dxdt = C1 raiz6 e^raiz6 t - C2 raiz6 e^-raiz6 t + 0.1 sin(2t)

Passo 14

Agora temos um sistema de equações:
  1. $ C_1 + C_2 = 0.05 $
  2. $ C_1 - C_2 = \sqrt{6} $
Vamos somar as duas equações:
C1 + C2 = 0.05
C1 - C2 = raiz6
E subtrair as duas equações:
2C1 = 0.05 + raiz6
C1 = 0.05 + raiz62

Passo 15

Substituindo $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução geral:
C1

Resposta

A posição do corpo em função do tempo é:
x(t) = (0.05 + raiz62) e^raiz6, t + (0.05 - raiz62) e^-raiz6, t - 0.05 cos(2t)

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