Seja um corpo de massa 8 kg rm uma região com energia potencial
. Se este corpo é lançado da origem com velocidade de
e está sujeito a uma força externa
, encontre:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de física onde um corpo de 8 kg está se movendo em uma região com uma energia potencial dada por $ U(x) = 12x^{4} - 24x^{2} - 13 $. Esse corpo é lançado da origem com uma velocidade de 6 m/s e está sendo influenciado por uma força externa que varia com o tempo, dada por $ F(t) = 4 \cos(2t) $. Nosso objetivo é encontrar a posição $ x(t) $ desse corpo ao longo do tempo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton aplicada a sistemas com energia potencial e forças externas. Também vamos precisar lidar com equações diferenciais, já que a posição depende do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela sua aceleração:
Onde $ a $ é a aceleração, que é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, $ a = \frac{d{2}x}{dt{2}} $.
Passo 3
Agora, a força resultante no nosso caso é composta por duas partes:
- A força derivada da energia potencial $ U(x) $.
- A força externa $ F(t) $.
A força derivada da energia potencial é dada por:
Vamos calcular essa derivada:
Portanto,
Passo 4
A força externa é dada por $ F(t) = 4 \cos(2t) $. Então, a força resultante total que age no corpo é:
Passo 5
Aplicando a segunda lei de Newton:
Substituindo:
Dividindo ambos os lados por 8 para simplificar:
Passo 6
Então, temos a seguinte equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial não linear devido ao termo $ x^{3} $. Resolver essa equação exatamente pode ser complicado, mas vamos fazer uma simplificação assumindo que as oscilações são pequenas. Se as oscilações são pequenas, o termo $ x^{3} $ pode ser negligenciado, simplificando a equação para:
Passo 7
Agora, temos uma equação diferencial linear:
Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução da equação homogênea ($ \frac{d{2}x}{dt{2}} - 6x = 0 $) e uma solução particular para a equação completa.
Passo 8
A solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinaremos com as condições iniciais.
Passo 9
Para encontrar a solução particular, vamos assumir uma solução da forma:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem encontradas.
Passo 10
Vamos derivar $ x_p(t) $:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 11
Igualando os coeficientes das funções cosseno e seno:
Resolvendo:
Então, a solução particular é:
Passo 12
Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 13
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
A primeira condição é que a posição na origem é zero:
A segunda condição é que a velocidade inicial é 6 m/s. Vamos derivar $ x(t) $ para encontrar a velocidade:
Aplicando $ t = 0 $:
Passo 14
Agora temos um sistema de equações:
- $ C_1 + C_2 = 0.05 $
- $ C_1 - C_2 = \sqrt{6} $
Vamos somar as duas equações:
E subtrair as duas equações:
Passo 15
Substituindo $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução geral:
Resposta
A posição do corpo em função do tempo é: