Considere uma tubulação de comprimento L , com diâmetro D e espessura t . Determine a distribuição de temperatura considerando regime permanente, condução unidirecional na direção radial e propriedades uniformes. Comente sobre a forma da curva.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar a distribuição de temperatura na parede cilíndrica (função T(r)), considerando regime permanente, condução apenas na direção radial e propriedades materiais uniformes.
  • Comentar sobre a forma da curva T(r).
Informações dadas e definições geométricas que vamos usar (todas extraídas do enunciado):
  • Comprimento do tubo: L.
  • Diâmetro interno (assumo que D é o diâmetro interno): D.
  • Espessura da parede: t.
  • Portanto o raio interno é r_i=\dfrac{D}{2}.
  • O raio externo é r_o=r_i+t=\dfrac{D}{2}+t.
  • Propriedades uniformes: condutividade térmica constante k (vou usar k como condutividade).
  • Regime permanente e condução unidirecional radial: temperatura não depende de \theta nem de z, apenas de r.
Observação: o enunciado não fornece temperaturas nas superfícies; por isso apresentarei a solução geral com condições de contorno de temperatura prescrita nas superfícies internas e externas: T(r_i)=T_i e T(r_o)=T_o. Também indicarei a expressão para a taxa de calor em função de T_i e T_o.

Passo 2

Escrevendo a conservação de energia para condução radial estacionária em coordenadas cilíndricas (sem geração de calor) e com k constante.
Intuição física rápida antes da equação: em regime permanente a taxa de calor que atravessa qualquer cilindro coaxial de raio r é a mesma (não há acúmulo). A área através da qual o calor passa nessa superfície é A_r = 2\pi r L. A lei de Fourier para fluxo de calor radial é:
q_r(r) = -k\,A_r\,\frac{dT}{dr} = -k\,2\pi r L\,\frac{dT}{dr}.
Como a mesma potência térmica atravessa todo raio (regime permanente, sem geração), q_r é independente de r. Logo ao diferenciar q_r em relação a r obtemos zero, o que leva à forma diferencial clássica. Formalmente:
\frac{d}{dr}\!\left(-k\,2\pi r L \frac{dT}{dr}\right) = 0.
Como k, 2\pi e L são constantes, simplifica-se para a equação diferencial ordinária
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=0.

Passo 3

Resolver a equação diferencial:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=0.
Integração da primeira ordem dá
r\frac{dT}{dr}=C_1,
onde C_1 é constante de integração. Isolando \dfrac{dT}{dr} e integrando novamente:
\frac{dT}{dr}=\frac{C_1}{r}
T(r)=C_1\ln r + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Conclusão: a solução geral da temperatura é uma função logarítmica de r.
Comentário didático: a razão física é que a área disponível para o fluxo aumenta com r (proporcional a r), então o gradiente de temperatura precisa variar para manter a mesma potência térmica — isso gera a dependência em \ln r.

Passo 4

Aplicar as condições de contorno de temperatura prescrita nas superfícies:
T(r_i)=T_i = C_1\ln r_i + C_2,
T(r_o)=T_o = C_1\ln r_o + C_2.
Subtraindo as duas equações:
T_i-T_o = C_1\ln\!\left(\frac{r_i}{r_o}\right).
Isolando C_1:
C_1 = \frac{T_i-T_o}{\ln\!\left(\dfrac{r_i}{r_o}\right)}.
É conveniente reescrever usando \ln(r_o/r_i)>0. Observando que \ln(r_i/r_o)=-\ln(r_o/r_i), obtemos a forma final da distribuição:
T(r)=T_i + (T_o-T_i)\,\frac{\ln\!\left(\dfrac{r}{r_i}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.
Verificação rápida de consistência: para r=r_i o fator logarítmico é zero e T(r_i)=T_i; para r=r_o o fator é 1 e T(r_o)=T_o.

Passo 5

Expressão para a taxa de calor total (potência térmica) atravessando a parede.
Usando Fourier e a expressão para \dfrac{dT}{dr}:
\frac{dT}{dr}=\frac{T_o-T_i}{r\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.
O fluxo radial (positivo no sentido de r crescente) por toda a espessura é
q_r = -k\,2\pi r L\,\frac{dT}{dr}.
Substituindo \dfrac{dT}{dr} e simplificando r:
q_r = -k\,2\pi L\,\frac{T_o-T_i}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.
Como q_r é constante em r, podemos escrever a magnitude da potência transferida do interior para o exterior (se T_i>T_o) como
Q = \frac{2\pi k L\,(T_i-T_o)}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.
Forma em resistência térmica (análogo elétrico):
Q = \frac{T_i-T_o}{R_{\text{cond}}}, \qquad R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}{2\pi k L}.
Explicação didática: a resistência térmica aumenta com a razão dos raios via logaritmo; isso mostra que, pra um tubo grosso, aumentar espessura não aumenta a resistência na mesma proporção que numa parede plana — a geometria circular importa.

Passo 6

Comentários sobre a forma da curva T(r) e intuição física:
  • A temperatura varia logaritmicamente com o raio: T(r) é uma função afim de \ln r. Portanto, se plotar T versus \ln r obtém-se uma reta. Se plotar T versus r obtém-se uma curva que decresce (ou cresce) suavemente com inclinação que diminui em módulo com r.
  • Física: quanto maior o raio, maior a área 2\pi r L que transporta calor; por isso o gradiente de temperatura \dfrac{dT}{dr} diminui com r (é proporcional a 1/r). Isso produz a forma curva (não linear).
  • Caso de parede fina ( t\ll r_i): a dependência logarítmica pode ser aproximada por uma variação linear, pois
\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right)\approx\frac{r_o-r_i}{r_i}=\frac{t}{r_i},
portanto para t\ll r_i a distribuição fica aproximadamente linear em r e as fórmulas reduzem às formas conhecidas para parede plana com espessura t.
  • Se as condições de contorno forem diferentes (por exemplo convecção numa face externa), basta trocar a condição em r_o por uma condição do tipo -k\left.\dfrac{dT}{dr}\right|_{r_o}=h\big(T(r_o)-T_\infty\big) e resolver para as constantes; a solução espacial ainda será da forma C_1\ln r + C_2, com constantes ajustadas à nova condição.

Resposta

T(r)=T_i + (T_o-T_i)\,\frac{\ln\!\left(\dfrac{r}{r_i}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)},
com r_i=\dfrac{D}{2} e r_o=r_i+t.
A forma da curva é logarítmica em r (reta em T versus \ln r); para t\ll r_i a variação pode ser aproximada como linear.

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