\section*{1{ }^{\mathrm{a}}$ AVALIACÃO - TIPO C}
1^{\circ} Questão (2,5 Pontos): A parede de um forno de secagem é construida com a colocação de um material isolante, de condutividade térmica (k) é igual a 1,5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}, entre duas folhas de metal de condutividade térmica (k) igual a 30 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}. Cada folha metálica tem 20 cm de espessura. O ar no interior do forno está a uma temperatura igual a 160^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente convectivo correspondente é hforno =30 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C}. Na superficie interna da parede está incidindo um fluxo radiante G igual 250 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. A temperatura do ar no ambiente externo ao forno é Tex igual a 25^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente para a convecção do ar externo é h igual a (10 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C}\right)). Sabendo que o coeficiente de absortividade da superficie da parede interna ao forno é igual a 0,5 e que a temperatura na interface isolante metal mais próxima ao interior do forno é 140^{\circ} \mathrm{C}. A área da parede é igual a 2 \mathrm{~m}^{2}. Calcule:
a) As temperaturas das camadas de metal em contato com os fluidos internos e externos.
b) Qual espessura L do isolamento é necessária para manter a superficie externa da parede a uma temperatura segura para o toque em 40^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei estes números do enunciado):
  • Geometria e materiais:
    • Estrutura: folha metálica (interna) de espessura 0{,}20\\ \mathrm{m} — isolamento — folha metálica (externa) de espessura 0{,}20\\ \mathrm{m}.
    • Condutividade do metal: k_{\text{m}} = 30\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)}.
    • Condutividade do isolante: k_{\text{i}} = 1{,}5\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)}.
    • Área da parede: A = 2\\ \mathrm{m^2} (usaremos fluxos por unidade de área \mathrm{W/m^2}).
  • Condições térmicas:
    • Ar interior: T_{\text{forno}} = 160^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente convectivo interior: h_{\text{forno}} = 30\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}.
    • Fluxo radiativo incidente na superfície interna: G = 250\\ \mathrm{W/m^2}.
    • Absorptividade da superfície interna: \alpha = 0{,}5 (então fluxo radiativo absorvido é \alpha G).
    • Ar externo: T_{\text{ext}} = 25^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente convectivo externo: h_{\text{ext}} = 10\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}.
  • Informação adicional (dada no enunciado):
    • Temperatura na interface isolante–metal mais próxima do interior: T_{\text{int, i}} = 140^\circ\mathrm{C}.
    • Espessura de cada folha metálica: t_{\text{m}} = 0{,}20\\ \mathrm{m}.
    • Procura-se:
      (a) As temperaturas das camadas de metal em contato com os fluidos interno e externo (isto é, a temperatura da superfície interna do metal que fica em contato com o ar do forno e a temperatura da superfície externa do metal que fica em contato com o ar ambiente).
      (b) A espessura L do isolamento necessária para que a superfície externa da parede atinja 40^\circ\mathrm{C} (temperatura segura ao toque).

Passo 2

Modelo físico e fórmulas que vamos usar (aula rápida, sem pular etapas):
  • Convenção: “por unidade de área” significa que trabalharemos com fluxos \,q'' em \mathrm{W/m^2}.
  • Radiação absorvida na superfície interna:
    q''_{\text{rad,abs}} = \alpha\,G.
    Aqui \alpha é a fração de G que fica na superfície (unidade adimensional) e G está em \mathrm{W/m^2}. No enunciado \alpha=0{,}5 e G=250\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Convecção no interior (do ar para a superfície interna do metal):
    q''_{\text{conv,in}} = h_{\text{forno}}\,(T_{\text{forno}} - T_{\text{s, in}}),
    onde T_{\text{s, in}} é a temperatura da superfície interna do metal (em contato com o ar do forno). h_{\text{forno}} é o coeficiente convectivo.
  • Condução através de uma lâmina plana (lei de Fourier, regime estacionário, unidimensional):
    q''_{\text{cond}} = \frac{k\,(T_a - T_b)}{L},
    onde k é condutividade, L é espessura, e T_a,T_b são temperaturas nas faces.
  • Convecção externa (do metal externo para o ar ambiente):
    q''_{\text{conv,out}} = h_{\text{ext}}\,(T_{\text{s, out}} - T_{\text{ext}}),
    onde T_{\text{s, out}} é a temperatura da superfície externa do metal.
  • Em regime permanente, o fluxo que entra pela face interna (soma de radiação absorvida + convecção interior) é o mesmo que atravessa toda a parede (mesmo fluxo por unidade de área), portanto podemos igualar as expressões apropriadas.
Vou usar essas fórmulas passo a passo para calcular as temperaturas pedidas. Todas as variáveis serão explicitadas quando usadas.

Passo 3

Cálculo da temperatura da superfície interna do metal (em contato com o ar do forno), T_{\text{s,in}}.
Equilíbrio de energia na superfície interna (por unidade de área): a energia que entra pela superfície é a soma do fluxo radiativo absorvido e do fluxo convectivo do ar interior; essa energia é conduzida através da espessura do metal até a interface metal–isolante (que tem temperatura dada T_{\text{int,i}}=140^\circ\mathrm{C}). Assim:
q'' = q''_{\text{rad,abs}} + q''_{\text{conv,in}}
e também
q'' = q''_{\text{cond,metal-in}} = \frac{k_{\text{m}}\,(T_{\text{s,in}} - T_{\text{int,i}})}{t_{\text{m}}}.
Agora substituímos as expressões conhecidas e resolvemos para T_{\text{s,in}}.
Primeiro o termo radiativo:
q''_{\text{rad,abs}} = \alpha G = 0{,}5 \times 250 = 125\\ \mathrm{W/m^2}.
O termo convectivo interior é h_{\text{forno}}(T_{\text{forno}}-T_{\text{s,in}}). Portanto:
125 + h_{\text{forno}}\,(T_{\text{forno}}-T_{\text{s,in}}) \;=\; \frac{k_{\text{m}}\,(T_{\text{s,in}} - T_{\text{int,i}})}{t_{\text{m}}}.
Agora colocamos os números:
125 + 30\,(160 - T_{\text{s,in}}) = \frac{30\,(T_{\text{s,in}} - 140)}{0{,}20}.
Faço as contas passo a passo:
  • O lado direito: \dfrac{30}{0{,}20}=150, então RHS =150\,(T_{\text{s,in}}-140).
  • Expandindo a equação:
125 + 30\cdot160 -30\,T_{\text{s,in}} = 150\,T_{\text{s,in}} -150\cdot140.
125 + 4800 -30\,T_{\text{s,in}} = 150\,T_{\text{s,in}} -21000.
4925 -30\,T_{\text{s,in}} = 150\,T_{\text{s,in}} -21000.
Reagrupando os termos em T_{\text{s,in}}:
4925 +21000 = 150\,T_{\text{s,in}} +30\,T_{\text{s,in}}.
25925 = 180\,T_{\text{s,in}}.
T_{\text{s,in}} = \frac{25925}{180} \approx 144{,}027777\\ \,^\circ\mathrm{C}.
Arredondando para duas casas decimais:
T_{\text{s,in}} \approx 144{,}03^\circ\mathrm{C}.
(Comentário amigo: isto mostra que a superfície interna do metal fica um pouco mais quente que a interface metal–isolante, porque há uma queda de temperatura atravessando a lâmina metálica.)

Passo 4

Cálculo do fluxo térmico por unidade de área q'' usando a condução no metal (ou usando a soma radiação+convecção — deve dar o mesmo valor; eu uso a condução para precisão):
q'' = \frac{k_{\text{m}}\,(T_{\text{s,in}} - T_{\text{int,i}})}{t_{\text{m}}} = 150\,(T_{\text{s,in}} -140).
Substituindo T_{\text{s,in}} = 144{,}027777:
q'' = 150 \times 4{,}027777\ldots \approx 604{,}1667\\ \mathrm{W/m^2}.
Também podia-se ter calculado q'' = 125 + 30\,(160 - 144{,}027777) \approx 604{,}1667\\ \mathrm{W/m^2}. Confere.

Passo 5

Temperatura da superfície externa do metal (em contato com o ar ambiente), T_{\text{s,out}}.
Em regime estacionário o mesmo fluxo q'' atravessa toda a parede e, na face externa, é dissipado por convecção:
q'' = h_{\text{ext}}\,(T_{\text{s,out}} - T_{\text{ext}}).
Logo:
T_{\text{s,out}} = T_{\text{ext}} + \frac{q''}{h_{\text{ext}}}.
Substituindo os valores:
T_{\text{s,out}} = 25 + \frac{604{,}1667}{10} = 25 + 60{,}41667 = 85{,}41667^\circ\mathrm{C}.
Arredondando:
T_{\text{s,out}} \approx 85{,}42^\circ\mathrm{C}.
(Comentário: com a interface interna a 140^\circ\mathrm{C} e as condições internas dadas, a superfície externa fica bastante quente — cerca de 85^\circ\mathrm{C} — desconfortável e perigosa ao toque.)

Passo 6

Cálculo da temperatura na interface isolante–metal do lado externo (para completar a cadeia de temperaturas). Isso também ajuda para o item (b).
Queda de temperatura através da lâmina metálica externa (espessura t_{\text{m}}=0{,}20\\ \mathrm{m}):
\Delta T_{\text{metal,out}} = \frac{q''\,t_{\text{m}}}{k_{\text{m}}} = \frac{604{,}1667\times 0{,}20}{30} = 4{,}02778^\circ\mathrm{C}.
Assim a temperatura na interface isolante–metal, do lado externo, T_{\text{int,o}}, é
T_{\text{int,o}} = T_{\text{s,out}} + \Delta T_{\text{metal,out}} = 85{,}41667 + 4{,}02778 \approx 89{,}44444^\circ\mathrm{C}.
Também podemos escrever a queda através do isolante:
T_{\text{int,i}} - T_{\text{int,o}} = \frac{q''\,L}{k_{\text{i}}},
o que será útil no passo seguinte quando resolvermos para L. Observação: aqui ainda não usamos L — apenas calculei a temperatura de interface externa resultante do fluxo q'' encontrado com T_{\text{int,i}}=140^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Agora resolvemos o item (b): determinar a espessura L do isolamento necessária para que a superfície externa da parede fique a 40^\circ\mathrm{C}.
Método e observação importante sobre hipóteses:
  • Para encontrar L eu vou impor que a temperatura superficial externa desejada é T_{\text{s,out}}^{\text{(desejada)}}=40^\circ\mathrm{C}.
  • Com essa imposição, o fluxo térmico requerido na parede (por unidade de área) será dado pela convecção externa: q''_{\text{req}} = h_{\text{ext}}\,(T_{\text{s,out}}^{\text{(desejada)}} - T_{\text{ext}}) = 10\,(40 - 25) = 150\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Em seguida determinamos a temperatura na interface isolante–metal externa (lado interior da lâmina metálica externa) somando a queda na lâmina metálica externa: T_{\text{int,o}} = T_{\text{s,out}}^{\text{(desejada)}} + \frac{q''_{\text{req}}\,t_{\text{m}}}{k_{\text{m}}}.
  • Finalmente usamos a condução no isolante entre T_{\text{int,i}}=140^\circ\mathrm{C} (dada) e T_{\text{int,o}} para achar L: q''_{\text{req}} = \frac{k_{\text{i}}\,(T_{\text{int,i}} - T_{\text{int,o}})}{L} \quad\Rightarrow\quad L = \frac{k_{\text{i}}\,(T_{\text{int,i}} - T_{\text{int,o}})}{q''_{\text{req}}}.
Faço as contas:
  • Primeiro q''_{\text{req}} = 150\\ \mathrm{W/m^2} (já calculado).
  • Queda na lâmina metálica externa:
    \frac{q''_{\text{req}}\,t_{\text{m}}}{k_{\text{m}}} = \frac{150\times 0{,}20}{30} = \frac{30}{30} = 1{,}0^\circ\mathrm{C}.
    Logo
    T_{\text{int,o}} = 40 + 1{,}0 = 41{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Agora a diferença de temperatura no isolante:
    T_{\text{int,i}} - T_{\text{int,o}} = 140 - 41 = 99^\circ\mathrm{C}.
  • Finalmente a espessura L:
    L = \frac{k_{\text{i}}\,(T_{\text{int,i}} - T_{\text{int,o}})}{q''_{\text{req}}} = \frac{1{,}5 \times 99}{150} = \frac{148{,}5}{150} = 0{,}99\\ \mathrm{m}.
Portanto é necessária uma espessura de isolante muito grande: L \approx 0{,}99\\ \mathrm{m} (quase 1 metro) para que a superfície externa atinja apenas 40^\circ\mathrm{C}, mantendo a temperatura da interface interna em 140^\circ\mathrm{C}.
Observação física e de interpretação (importante e honesta): fixar T_{\text{int,i}}=140^\circ\mathrm{C} e forçar T_{\text{s,out}}=40^\circ\mathrm{C} dá como necessário L\approx0{,}99\\ \mathrm{m}. Porém, na realidade as temperaturas e o fluxo são acoplados: se o isolante for muito grosso, o fluxo que sai poderia diminuir e isso mudaria as temperaturas internas. Aqui aceitei a hipótese do enunciado de que T_{\text{int,i}}=140^\circ\mathrm{C} é mantida independentemente do L pedido (interpretação comum em exercícios onde se dá uma temperatura de interface e pede-se a espessura correspondente para uma superfície externa desejada). Se, na prática, a interface interna não for fixa, então o problema deve ser tratado resolvendo-se o circuito térmico todo acoplado; neste enunciado, a forma pedida e os dados sugerem a abordagem que fiz.

Resposta

a) T_{\text{s,in}} \approx 144{,}03^\circ\mathrm{C} (temperatura da face interna do metal, em contato com o ar do forno).
a) T_{\text{s,out}} \approx 85{,}42^\circ\mathrm{C} (temperatura da face externa do metal, em contato com o ar ambiente).
b) L \approx 0{,}99\\ \mathrm{m} (espessura do isolamento necessária para que a superfície externa atinja 40^\circ\mathrm{C}, assumindo T_{\text{int,i}}=140^\circ\mathrm{C}).

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