1{ }^{\mathrm{a}}$ AVALIACÃO - TIPO C}
Questão (2,5 Pontos): A parede de um forno de secagem é construida com a colocação de um material isolante, de condutividade térmica (k) é igual a
, entre duas folhas de metal de condutividade térmica (k) igual a
. Cada folha metálica tem 20 cm de espessura. O ar no interior do forno está a uma temperatura igual a
e o coeficiente convectivo correspondente é hforno
. Na superficie interna da parede está incidindo um fluxo radiante G igual
. A temperatura do ar no ambiente externo ao forno é Tex igual a
e o coeficiente para a convecção do ar externo é h igual a
. Sabendo que o coeficiente de absortividade da superficie da parede interna ao forno é igual a 0,5 e que a temperatura na interface isolante metal mais próxima ao interior do forno é
. A área da parede é igual a
. Calcule:
a) As temperaturas das camadas de metal em contato com os fluidos internos e externos.
b) Qual espessura
do isolamento é necessária para manter a superficie externa da parede a uma temperatura segura para o toque em
?
a) As temperaturas das camadas de metal em contato com os fluidos internos e externos.
b) Qual espessura
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei estes números do enunciado):
-
Geometria e materiais:
- Estrutura: folha metálica (interna) de espessura
— isolamento — folha metálica (externa) de espessura . - Condutividade do metal:
. - Condutividade do isolante:
. - Área da parede:
(usaremos fluxos por unidade de área ).
- Estrutura: folha metálica (interna) de espessura
-
Condições térmicas:
- Ar interior:
. - Coeficiente convectivo interior:
. - Fluxo radiativo incidente na superfície interna:
. - Absorptividade da superfície interna:
(então fluxo radiativo absorvido é ). - Ar externo:
. - Coeficiente convectivo externo:
.
- Ar interior:
-
Informação adicional (dada no enunciado):
- Temperatura na interface isolante–metal mais próxima do interior:
. - Espessura de cada folha metálica:
. - Procura-se:
(a) As temperaturas das camadas de metal em contato com os fluidos interno e externo (isto é, a temperatura da superfície interna do metal que fica em contato com o ar do forno e a temperatura da superfície externa do metal que fica em contato com o ar ambiente).
(b) A espessurado isolamento necessária para que a superfície externa da parede atinja (temperatura segura ao toque).
- Temperatura na interface isolante–metal mais próxima do interior:
Passo 2
Modelo físico e fórmulas que vamos usar (aula rápida, sem pular etapas):
-
Convenção: “por unidade de área” significa que trabalharemos com fluxos
em . -
Radiação absorvida na superfície interna:Aqui
é a fração de que fica na superfície (unidade adimensional) e está em . No enunciado e . -
Convecção no interior (do ar para a superfície interna do metal):onde
é a temperatura da superfície interna do metal (em contato com o ar do forno). é o coeficiente convectivo. -
Condução através de uma lâmina plana (lei de Fourier, regime estacionário, unidimensional):onde
é condutividade, é espessura, e são temperaturas nas faces. -
Convecção externa (do metal externo para o ar ambiente):onde
é a temperatura da superfície externa do metal. -
Em regime permanente, o fluxo que entra pela face interna (soma de radiação absorvida + convecção interior) é o mesmo que atravessa toda a parede (mesmo fluxo por unidade de área), portanto podemos igualar as expressões apropriadas.
Vou usar essas fórmulas passo a passo para calcular as temperaturas pedidas. Todas as variáveis serão explicitadas quando usadas.
Passo 3
Cálculo da temperatura da superfície interna do metal (em contato com o ar do forno),
.
Equilíbrio de energia na superfície interna (por unidade de área): a energia que entra pela superfície é a soma do fluxo radiativo absorvido e do fluxo convectivo do ar interior; essa energia é conduzida através da espessura do metal até a interface metal–isolante (que tem temperatura dada
). Assim:
e também
Agora substituímos as expressões conhecidas e resolvemos para
.
Primeiro o termo radiativo:
O termo convectivo interior é
. Portanto:
Agora colocamos os números:
Faço as contas passo a passo:
-
O lado direito:
, então RHS . -
Expandindo a equação:
Reagrupando os termos em
:
Arredondando para duas casas decimais:
(Comentário amigo: isto mostra que a superfície interna do metal fica um pouco mais quente que a interface metal–isolante, porque há uma queda de temperatura atravessando a lâmina metálica.)
Passo 4
Cálculo do fluxo térmico por unidade de área
usando a condução no metal (ou usando a soma radiação+convecção — deve dar o mesmo valor; eu uso a condução para precisão):
Substituindo
:
Também podia-se ter calculado
. Confere.
Passo 5
Temperatura da superfície externa do metal (em contato com o ar ambiente),
.
Em regime estacionário o mesmo fluxo
atravessa toda a parede e, na face externa, é dissipado por convecção:
Logo:
Substituindo os valores:
Arredondando:
(Comentário: com a interface interna a
e as condições internas dadas, a superfície externa fica bastante quente — cerca de
— desconfortável e perigosa ao toque.)
Passo 6
Cálculo da temperatura na interface isolante–metal do lado externo (para completar a cadeia de temperaturas). Isso também ajuda para o item (b).
Queda de temperatura através da lâmina metálica externa (espessura
):
Assim a temperatura na interface isolante–metal, do lado externo,
, é
Também podemos escrever a queda através do isolante:
o que será útil no passo seguinte quando resolvermos para
. Observação: aqui ainda não usamos
— apenas calculei a temperatura de interface externa resultante do fluxo
encontrado com
.
Passo 7
Agora resolvemos o item (b): determinar a espessura
do isolamento necessária para que a superfície externa da parede fique a
.
Método e observação importante sobre hipóteses:
- Para encontrar
eu vou impor que a temperatura superficial externa desejada é . - Com essa imposição, o fluxo térmico requerido na parede (por unidade de área) será dado pela convecção externa:
- Em seguida determinamos a temperatura na interface isolante–metal externa (lado interior da lâmina metálica externa) somando a queda na lâmina metálica externa:
- Finalmente usamos a condução no isolante entre
(dada) e para achar :
Faço as contas:
-
Primeiro
(já calculado). -
Queda na lâmina metálica externa:Logo
-
Agora a diferença de temperatura no isolante:
-
Finalmente a espessura
:
Portanto é necessária uma espessura de isolante muito grande:
(quase
metro) para que a superfície externa atinja apenas
, mantendo a temperatura da interface interna em
.
Observação física e de interpretação (importante e honesta): fixar
e forçar
dá como necessário
. Porém, na realidade as temperaturas e o fluxo são acoplados: se o isolante for muito grosso, o fluxo que sai poderia diminuir e isso mudaria as temperaturas internas. Aqui aceitei a hipótese do enunciado de que
é mantida independentemente do
pedido (interpretação comum em exercícios onde se dá uma temperatura de interface e pede-se a espessura correspondente para uma superfície externa desejada). Se, na prática, a interface interna não for fixa, então o problema deve ser tratado resolvendo-se o circuito térmico todo acoplado; neste enunciado, a forma pedida e os dados sugerem a abordagem que fiz.
Resposta
a)
(temperatura da face interna do metal, em contato com o ar do forno).
a) (temperatura da face externa do metal, em contato com o ar ambiente).
b) (espessura do isolamento necessária para que a superfície externa atinja
, assumindo
).
a)
b)