Considere u=(1,4) e v=(3,2).
Dentre todos os pontos pertencentes à reta r de equação paramétrica (x, y)=t v, determine aquele que é mais próximo a u.

Passo 1

O enunciado nos dá o ponto \,u=(1,4)\, e a reta r que passa pela origem com vetor diretor v=(3,2), descrita por
(x,y)=t\,v=(3t,2t).
Queremos o ponto de r que minimiza a distância até u. Isso é um problema de projeção ortogonal de u sobre a direção v.

Passo 2

Para que o ponto P=t\,v seja o mais próximo de u, o vetor diferença u - t\,v deve ser ortogonal a v. Assim impomos
(u - t\,v)\cdot v = 0.

Passo 3

Calculamos os produtos internos:
u\cdot v = (1,4)\cdot(3,2)=1\cdot3+4\cdot2=3+8=11,
v\cdot v = (3,2)\cdot(3,2)=3^2+2^2=9+4=13.
Da condição ortogonal segue
t = \frac{u\cdot v}{v\cdot v} = \frac{11}{13}.

Passo 4

Substituindo t=\tfrac{11}{13} em P=(3t,2t), obtemos
P=\Bigl(3\cdot\frac{11}{13},\,2\cdot\frac{11}{13}\Bigr)=\Bigl(\frac{33}{13},\,\frac{22}{13}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \Bigl(\tfrac{33}{13},\,\tfrac{22}{13}\Bigr)

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