Considere u=(1,4) e v=(3,2).
Sendo \theta o ângulo entre u e v, determine \cos \theta.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,u=(1,4) e \,v=(3,2) e pede o cosseno do ângulo \theta entre eles. O que precisamos é a fórmula do produto escalar em termos de norma:
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}.

Passo 2

Calcular o produto escalar u\cdot v. Por definição,
u\cdot v = 1\cdot 3 + 4\cdot 2 = 3 + 8 = 11.

Passo 3

Calcular as normas \|u\| e \|v\|. Lembrando que \|(x,y)\| = \sqrt{x^2+y^2}, temos
\|u\| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17},
\|v\| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}.

Passo 4

Substituir na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|} = \frac{11}{\sqrt{17}\,\sqrt{13}} = \frac{11}{\sqrt{221}}.

Resposta

\cos\theta = \frac{11}{\sqrt{221}}.

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