Considere un sitema massa-mola não amortecido forçado descrito pelo poblema de valor inicia]
.
a)
Resolva o problema de valor inicial para
. Em que
é constante.
b) Para
, discuta porque existe uma única frequência
para a qual
sistema está em ressonância pura.
a)
b) Para
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
com
constante, e pede:
- (a) Resolver para
(ou seja, com o termo ). - (b) Para
, discutir por que existe uma única frequência para a qual o sistema está em ressonância pura.
Informações relevantes fornecidas:
- Equação diferencial linear de segunda ordem, não amortecida (coeficiente de
é zero). - Condições iniciais nulas:
, . - Forcing (força externa) é
. - Parâmetros:
(frequência natural angular do sistema), (parâmetro do seno da força), constante.
Passo 2
Primeiro passo técnico útil: reescrever
usando a identidade trigonométrica clássica. A identidade é
Aplicando com
obtemos (uso dessa informação do enunciado)
Então a equação forçada fica
Explicação didática: isso mostra que a força aplicada tem duas componentes: uma constante (DC)
e uma oscilatória de angular
com amplitude
. Só a componente oscilatória pode causar ressonância quando sua frequência angular coincide com
.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada. A homogênea é
A solução geral da homogênea é (método padrão para equação linear com coeficientes constantes)
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Explicação: as raízes da equação característica
são
, daí soluções em cosseno e seno.
Passo 4
Achar uma solução particular para a parte constante
. Para a equação
procura-se uma solução particular constante
. Substituindo:
, então
Explicação: quando a força é constante, a solução particular é constante e obtém-se dividindo a força pela rigidez efetiva
.
Passo 5
Achar uma solução particular para a parte oscilatória
. Escrevemos forçante como
com
Pelo método dos coeficientes indeterminados, se
(não há ressonância), tentamos uma solução do tipo
. Substituindo:
Logo
Portanto, para
(ou seja,
), uma solução particular para a parte oscilatória é
Explicação didática: a fórmula geral para forçamento
dá
, desde que o denominador não seja zero. Se o denominador for zero, entra a situação de ressonância e precisa-se de outro tipo de ansatz (ver mais adiante).
Passo 6
Combinar soluções: solução geral (caso não-resonante,
) é
Agora aplicamos condições iniciais
e
.
Calcule
:
Logo
Calcule
e avalie em
. Derivando a solução:
Notei que o sinal muda ao derivar
. Avaliando em
:
Portanto, para
temos os coeficientes
e
determinados acima, e a solução final não-resonante é
Podemos reorganizar para ficar mais legível; uma forma compacta é
Explicação prática: essa solução é soma da oscilação livre (primeiro termo em
) ajustada para as condições iniciais, de uma componente constante e da resposta forçada na frequência
.
Passo 7
Tratar o caso de ressonância pura: quando
(ou seja,
), o denominador
zera e o procedimento do Passo 5 falha. Nesse caso devemos tentar um ansatz multiplicado por
. Para a forçante
com
, tentamos
Derivando:
Somando com
os termos em
cancelam e sobra
Igualando à forçante
obtemos
, daí
Portanto, a solução particular para a parte oscilatória, no caso ressonante
, é
Somando à solução particular constante
e à homogênea
, temos para
Aplicando condições iniciais
e
:
-
. - Derivando e avaliando em
obtemos .
Assim a solução em ressonância pura é
Observação didática: o termo
cresce em amplitude proporcional a
(comoscilaçõessenoides multiplicadas por
), o que caracteriza a ressonância não amortecida — amplitude não limitada, cresce sem limite conforme
cresce.
Passo 8
Discutir porque existe uma única frequência
de ressonância pura quando
.
Raciocínio claro e passo a passo:
- A força
tem, pela identidade do Passo 2, apenas componentes espectrais em frequências angulares (a constante) e . - Ressonância pura (no sistema sem amortecimento) ocorre quando a frequência angular da componente forçada coincide com a frequência natural angular do sistema, isto é, quando
. - Assim a condição de ressonância é
, ou seja
- Isso determina um único valor de
que produz ressonância. O enunciado fala em frequência (em ciclos por segundo): com obtemos
- Conclusão conceitual: há apenas uma
que faz com que a componente oscilatória da força tenha a mesma frequência angular que o sistema; por isso existe uma única frequência de ressonância pura. Se for diferente, a resposta forçada é limitada e dada pelas fórmulas do caso não-resonante (denominadores finitos).
Comentário motivador: em palavras amigas — a força
“bate” no sistema com duas “notas”: uma nota contínua (DC) e uma nota oscilante de angular
. Só quando essa nota coincide com a nota natural do sistema o espetáculo vira ressonância e a amplitude dispara.
Resposta
(a) Para
(caso não-resonante):
(a) Para
(resonância pura):
(b) Existe uma única frequência de ressonância porque a força
tem apenas a componente oscilatória de frequência angular
; a ressonância ocorre quando
, isto é
, logo a frequência em ciclos por segundo é
.