(1,5) Considere un sitema massa-mola não amortecido forçado descrito pelo poblema de valor inicia]
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+w^{2} y=F_{0} \operatorname{sen}^{n} \gamma t, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0.
a) (1,0) Resolva o problema de valor inicial para n=2. Em que F_{0} é constante.
b) Para \mathrm{n}=2, discuta porque existe uma única frequência \frac{\gamma_{1}}{2 \pi} para a qual p sistema está em ressonância pura.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+\omega^{2}y=F_{0}\operatorname{sen}^{2}(\gamma t),\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0,
com F_{0} constante, e pede:
  • (a) Resolver para n=2 (ou seja, com o termo \operatorname{sen}^{2}(\gamma t)).
  • (b) Para n=2, discutir por que existe uma única frequência \dfrac{\gamma_{1}}{2\pi} para a qual o sistema está em ressonância pura.
Informações relevantes fornecidas:
  • Equação diferencial linear de segunda ordem, não amortecida (coeficiente de y' é zero).
  • Condições iniciais nulas: y(0)=0, y'(0)=0.
  • Forcing (força externa) é F_{0}\operatorname{sen}^{2}(\gamma t).
  • Parâmetros: \omega (frequência natural angular do sistema), \gamma (parâmetro do seno da força), F_{0} constante.

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: reescrever \operatorname{sen}^{2}(\gamma t) usando a identidade trigonométrica clássica. A identidade é
\operatorname{sen}^{2}(\theta)=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Aplicando com \theta=\gamma t obtemos (uso dessa informação do enunciado)
\operatorname{sen}^{2}(\gamma t)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2\gamma t).
Então a equação forçada fica
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+\omega^{2}y=\frac{F_{0}}{2}-\frac{F_{0}}{2}\cos(2\gamma t).
Explicação didática: isso mostra que a força aplicada tem duas componentes: uma constante (DC) F_{0}/2 e uma oscilatória de angular 2\gamma com amplitude F_{0}/2. Só a componente oscilatória pode causar ressonância quando sua frequência angular coincide com \omega.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada. A homogênea é
y''+\omega^{2}y=0.
A solução geral da homogênea é (método padrão para equação linear com coeficientes constantes)
y_{h}(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais. Explicação: as raízes da equação característica r^{2}+\omega^{2}=0 são r=\pm i\omega, daí soluções em cosseno e seno.

Passo 4

Achar uma solução particular para a parte constante F_{0}/2. Para a equação
y''+\omega^{2}y=\frac{F_{0}}{2},
procura-se uma solução particular constante y_{p1}=C. Substituindo: 0+\omega^{2}C=F_{0}/2, então
y_{p1}=\frac{F_{0}}{2\omega^{2}}.
Explicação: quando a força é constante, a solução particular é constante e obtém-se dividindo a força pela rigidez efetiva \omega^{2}.

Passo 5

Achar uma solução particular para a parte oscilatória -\dfrac{F_{0}}{2}\cos(2\gamma t). Escrevemos forçante como a\cos(\Omega t) com
a=-\frac{F_{0}}{2},\qquad \Omega=2\gamma.
Pelo método dos coeficientes indeterminados, se \Omega\neq\omega (não há ressonância), tentamos uma solução do tipo y_{p2}=C\cos(\Omega t). Substituindo:
y_{p2}''+\omega^{2}y_{p2}=(-C\Omega^{2}+\omega^{2}C)\cos(\Omega t)=C(\omega^{2}-\Omega^{2})\cos(\Omega t)=a\cos(\Omega t).
Logo
C=\frac{a}{\omega^{2}-\Omega^{2}}=\frac{-\tfrac{F_{0}}{2}}{\omega^{2}-(2\gamma)^{2}}=-\frac{F_{0}/2}{\omega^{2}-4\gamma^{2}}.
Portanto, para \Omega\neq\omega (ou seja, 2\gamma\neq\omega), uma solução particular para a parte oscilatória é
y_{p2}(t)=-\frac{F_{0}/2}{\omega^{2}-4\gamma^{2}}\cos(2\gamma t).
Explicação didática: a fórmula geral para forçamento a\cos(\Omega t) C=a/(\omega^{2}-\Omega^{2}), desde que o denominador não seja zero. Se o denominador for zero, entra a situação de ressonância e precisa-se de outro tipo de ansatz (ver mais adiante).

Passo 6

Combinar soluções: solução geral (caso não-resonante, 2\gamma\neq\omega) é
y(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)+\frac{F_{0}}{2\omega^{2}}-\frac{F_{0}/2}{\omega^{2}-4\gamma^{2}}\cos(2\gamma t).
Agora aplicamos condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0.
Calcule y(0):
y(0)=A + 0 + \frac{F_{0}}{2\omega^{2}}-\frac{F_{0}/2}{\omega^{2}-4\gamma^{2}}=0.
Logo
A=-\frac{F_{0}}{2\omega^{2}}+\frac{F_{0}/2}{\omega^{2}-4\gamma^{2}}.
Calcule y'(t) e avalie em t=0. Derivando a solução:
y'(t)=-A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t)+\frac{F_{0}/2}{\omega^{2}-4\gamma^{2}}\cdot(2\gamma)\sin(2\gamma t).
Notei que o sinal muda ao derivar -\frac{F_{0}/2}{\omega^{2}-4\gamma^{2}}\cos(2\gamma t). Avaliando em t=0:
y'(0)=B\omega =0\quad\Rightarrow\quad B=0.
Portanto, para 2\gamma\neq\omega temos os coeficientes A e B determinados acima, e a solução final não-resonante é
y(t)=\left(-\frac{F_{0}}{2\omega^{2}}+\frac{F_{0}/2}{\omega^{2}-4\gamma^{2}}\right)\cos(\omega t) +\frac{F_{0}}{2\omega^{2}}-\frac{F_{0}/2}{\omega^{2}-4\gamma^{2}}\cos(2\gamma t).
Podemos reorganizar para ficar mais legível; uma forma compacta é
y(t)=\frac{F_{0}}{2}\left(\frac{1}{\omega^{2}-4\gamma^{2}}-\frac{1}{\omega^{2}}\right)\cos(\omega t) +\frac{F_{0}}{2\omega^{2}}-\frac{F_{0}}{2(\omega^{2}-4\gamma^{2})}\cos(2\gamma t).
Explicação prática: essa solução é soma da oscilação livre (primeiro termo em \cos\omega t) ajustada para as condições iniciais, de uma componente constante e da resposta forçada na frequência 2\gamma.

Passo 7

Tratar o caso de ressonância pura: quando 2\gamma=\omega (ou seja, \Omega=\omega), o denominador \omega^{2}-\Omega^{2} zera e o procedimento do Passo 5 falha. Nesse caso devemos tentar um ansatz multiplicado por t. Para a forçante a\cos(\omega t) com a=-F_{0}/2, tentamos
y_{p2}(t)=t\cdot D\sin(\omega t).
Derivando:
y_{p2}'(t)=D\sin(\omega t)+tD\omega\cos(\omega t),
y_{p2}''(t)=2D\omega\cos(\omega t)-tD\omega^{2}\sin(\omega t).
Somando com \omega^{2}y_{p2} os termos em t cancelam e sobra
y_{p2}''+\omega^{2}y_{p2}=2D\omega\cos(\omega t).
Igualando à forçante a\cos(\omega t) obtemos 2D\omega=a, daí
D=\frac{a}{2\omega}=\frac{-F_{0}/2}{2\omega}=-\frac{F_{0}}{4\omega}.
Portanto, a solução particular para a parte oscilatória, no caso ressonante 2\gamma=\omega, é
y_{p2}(t)=-\frac{F_{0}}{4\omega}\,t\sin(\omega t).
Somando à solução particular constante y_{p1}=\dfrac{F_{0}}{2\omega^{2}} e à homogênea A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t), temos para 2\gamma=\omega
y(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)+\frac{F_{0}}{2\omega^{2}}-\frac{F_{0}}{4\omega}\,t\sin(\omega t).
Aplicando condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0:
  • y(0)=A+\frac{F_{0}}{2\omega^{2}}=0\Rightarrow A=-\dfrac{F_{0}}{2\omega^{2}}.
  • Derivando e avaliando em 0 obtemos y'(0)=B\omega=0\Rightarrow B=0.
Assim a solução em ressonância pura é
y(t)=\frac{F_{0}}{2\omega^{2}}\bigl(1-\cos(\omega t)\bigr)-\frac{F_{0}}{4\omega}\,t\sin(\omega t).
Observação didática: o termo -\dfrac{F_{0}}{4\omega}t\sin(\omega t) cresce em amplitude proporcional a t (comoscilaçõessenoides multiplicadas por t), o que caracteriza a ressonância não amortecida — amplitude não limitada, cresce sem limite conforme t cresce.

Passo 8

Discutir porque existe uma única frequência \dfrac{\gamma_{1}}{2\pi} de ressonância pura quando n=2.
Raciocínio claro e passo a passo:
  • A força \operatorname{sen}^{2}(\gamma t) tem, pela identidade do Passo 2, apenas componentes espectrais em frequências angulares 0 (a constante) e \Omega=2\gamma.
  • Ressonância pura (no sistema sem amortecimento) ocorre quando a frequência angular da componente forçada coincide com a frequência natural angular do sistema, isto é, quando \Omega=\omega.
  • Assim a condição de ressonância é 2\gamma=\omega, ou seja
\gamma=\frac{\omega}{2}.
  • Isso determina um único valor de \gamma que produz ressonância. O enunciado fala em frequência \dfrac{\gamma_{1}}{2\pi} (em ciclos por segundo): com \gamma_{1}=\dfrac{\omega}{2} obtemos
\frac{\gamma_{1}}{2\pi}=\frac{\omega}{4\pi}.
  • Conclusão conceitual: há apenas uma \gamma que faz com que a componente oscilatória da força tenha a mesma frequência angular que o sistema; por isso existe uma única frequência de ressonância pura. Se \gamma for diferente, a resposta forçada é limitada e dada pelas fórmulas do caso não-resonante (denominadores finitos).
Comentário motivador: em palavras amigas — a força F_{0}\operatorname{sen}^{2}(\gamma t) “bate” no sistema com duas “notas”: uma nota contínua (DC) e uma nota oscilante de angular 2\gamma. Só quando essa nota coincide com a nota natural do sistema o espetáculo vira ressonância e a amplitude dispara.

Resposta

(a) Para 2\gamma\neq\omega (caso não-resonante):
y(t)=\left(-\frac{F_{0}}{2\omega^{2}}+\frac{F_{0}/2}{\omega^{2}-4\gamma^{2}}\right)\cos(\omega t) +\frac{F_{0}}{2\omega^{2}}-\frac{F_{0}/2}{\omega^{2}-4\gamma^{2}}\cos(2\gamma t).
(a) Para 2\gamma=\omega (resonância pura):
y(t)=\frac{F_{0}}{2\omega^{2}}\bigl(1-\cos(\omega t)\bigr)-\frac{F_{0}}{4\omega}\,t\sin(\omega t).
(b) Existe uma única frequência de ressonância porque a força \operatorname{sen}^{2}(\gamma t) tem apenas a componente oscilatória de frequência angular \Omega=2\gamma; a ressonância ocorre quando \Omega=\omega, isto é \gamma_{1}=\dfrac{\omega}{2}, logo a frequência em ciclos por segundo é \dfrac{\gamma_{1}}{2\pi}=\dfrac{\omega}{4\pi}.

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