( 1,5 ) Uma massa de 1 kg é presa a uma mola com rigidez
. No instante
, uma força externa
é aplicada ao sistema. A constante de amortecimento para o sistema é
. Determine a solução em regime estacionário para o sistema.
Passo 1
O enunciado dá uma massa presa a uma mola com amortecimento e força externa harmónica. Pergunta: determinar a solução em regime estacionário (ou seja, o movimento permanente forçado, depois que os transientes já se dissiparam). Dados fornecidos:
A meta é achar a solução em regime estacionário
.
Passo 2
Escrevemos a equação do movimento (lei de Newton para massa-mola-amortecedor):
Substituindo os dados numéricos:
ou seja
Explicação didática: a solução geral desta EDO é soma da solução homogênea (transiente) mais uma solução particular (forçada). O regime estacionário corresponde precisamente à solução particular, porque os termos transientes decaem no tempo quando
.
Passo 3
Método escolhido: coeficientes indeterminados com tentativa de solução particular da forma
porque o lado direito é uma combinação de
e
. Isto é padrão: para uma força
tenta-se uma combinação de
e
. Agora calculamos as derivadas necessárias:
Passo 4
Substituímos
na EDO e agrupamos coeficientes de
e
:
Agora coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Esses devem igualar os coeficientes do lado direito
. Logo obtemos o sistema linear:
Passo 5
Resolvendo o sistema. Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então
Passo 6
Portanto uma solução particular (e então o regime estacionário) é
É comum e útil escrever isso na forma de amplitude e defasagem:
onde
e a defasagem
satisfaz
Portanto
e, observando que
e
,
está no segundo quadrante, isto é
Valores numéricos (aproximação):
Passo 7
Comentário final e incentivo: a solução em regime estacionário é independente das condições iniciais porque o amortecimento faz os transientes da solução homogênea decaírem. Assim, na prova, basta encontrar a particular (como fizemos) para dar o movimento permanente forçado.