(3,5) Considere uma válvula representada pela função de transferência
. Considere a válvula F.O. (Fail Open) e banda passante de
a) (0,5) Encontre a equação diferencial que representa a dinâmica desta válvula
b) (1,5) Considerando uma condição inicial nula e uma variação instantânea de
no sinal de comando para abertura da válvula, calcule o tempo necessário para a válvula alcançar 50% de sua abertura.
c) (1,5) Considerando agora que a válvula está
aberta e em condição de regime. A partir deste instante é enviado um comando (degrau) que levará a válvula a uma abertura de
. Calcule o tempo necessário para a válvula alcançar
de sua abertura.
OBS: Dê a resposta em ms com uma casa decimal
a) (0,5) Encontre a equação diferencial que representa a dinâmica desta válvula
b) (1,5) Considerando uma condição inicial nula e uma variação instantânea de
c) (1,5) Considerando agora que a válvula está
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados fornecidos:
- A função de transferência da válvula é
. - A válvula é F.O. (Fail Open) e a faixa de abertura é
(ou seja, abertura varia entre e ).
- A função de transferência da válvula é
- O enunciado pede três coisas:
a) (0,5) Encontrar a equação diferencial que representa a dinâmica da válvula (relação entre saídae entrada ).
b) (1,5) Supondo condição inicial nula e uma variação instantânea (degrau) deno sinal de comando, calcular o tempo necessário para a válvula atingir de abertura.
c) (1,5) Supondo que a válvula está em regime comde abertura e então é enviado um degrau que a leva a ; calcular o tempo para ela atingir de abertura. - Observação: todas as respostas finais devem ser dadas em milissegundos (ms) com uma casa decimal.
Passo 2
Transformação da função de transferência em equação diferencial (parte a).
- A função de transferência relaciona as transformadas de Laplace:
. Multiplicando ambos os lados por obtém-se
- Interpretando
como o operador da transformada de Laplace, corresponde à transformada de . Tomando a transformada inversa de Laplace obtemos a equação diferencial em tempo:
- Explicando cada termo:
é a variável de saída (abertura da válvula, em fração ou ), é o sinal de comando, é a taxa de variação da abertura; o coeficiente vem do pólo em e o fator é o ganho DC do sistema.
Passo 3
Identificação da constante de tempo e da resposta a degrau de um sistema de primeira ordem (fórmula útil).
- Para uma equação do tipo
o pólo está em
e a constante de tempo é
. Aqui
, logo
- Para uma entrada degrau de amplitude
(assumindo condição inicial ), a resposta da saída é
onde
é o valor em regime permanente dado por
. No nosso caso
? Atenção: cuidado com interpretação — há duas formas de ver
:
- Se usar
diretamente, então . - Alternativamente, considerar a relação sensível entre representação
como ganho DC igual a . - Para evitar confusão de unidades (porcentagem ou fração), é prático trabalhar em fração (0 a 1) e depois converter para
. Assim: (ganho DC), .
Observação importante (interpretativa): o enunciado original deu
— a interpretação correta do ganho DC é
quando se calcula
. Usarei essa interpretação consistente ao calcular
.
Passo 4
Resolução do item (b): degrau de
, condição inicial nula, tempo para atingir
.
- Converter porcentagens para fração: um degrau de
corresponde a . - Ganho DC:
. Portanto o valor em regime permanente é
que em
é
de abertura em regime (ou seja, com esse ganho DC o máximo que se alcança com comando
é
). (Observação: esta interpretação evita ultrapassar
.)
- A resposta ao degrau (com
) é
- Queremos o tempo
tal que , ou seja (em fração). Colocando os valores:
- Rearranjando,
Isto dá
, o que é impossível porque
. Portanto com a interpretação correta do ganho DC
e entrada
o valor final é apenas
e a válvula nunca alcançará
. Logo esse caminho mostra incompatibilidade entre assumir
e a formulação do problema que parece supor ganho unitário maior.
- Diante disso, e considerando que o enunciado provavelmente usa a notação em que
representa ganho DC igual a (ou seja, interpreta-se ), adotaremos a interpretação prática que faz o enunciado coerente com pedidos: usar ganho DC igual a . Isso equivale a tratar as unidades de como “comando em escala tal que ” — abordagem comum em exercícios de controle. Vou prosseguir com essa interpretação para responder (b) e (c), já que ela permite que a saída alcance os níveis percentuais pedidos. (Se fosse obrigatório manter a interpretação , a conclusão seria: impossível atingir .) - Com
, para entrada tem-se
Como o objetivo é apenas atingir
(0{,}50) e
, não há saturação a considerar para este alvo.
- Usando
, a equação do passo é
- Isolando o exponencial:
- Tomando ln:
- Calculando numericamente:
- Arredondando para uma casa decimal:
.
Passo 5
Resolução do item (c): partir de
em regime, degrau que leva para
, tempo para atingir
.
- Trabalhando em frações:
, , alvo . - Para um sistema de primeira ordem partindo de
, a resposta a um degrau que leva a é
- Colocando os valores:
- Calculando a diferença inicial:
- Isolando o exponencial:
- Tomando ln:
- Calculando numericamente:
- Arredondando para uma casa decimal:
.
Resposta
a)
\n
b) \n
c)
b)
c)