Considere uma variável aleatória X com distribuição binomial e parâmetros p= 1 / 3 e \mathrm{n}=4. Qual é a probabilidade de X=2 ?
a) 4 / 81
b) 1 / 9
c) 2 / 9
d) 8 / 27

Passo 1

O enunciado dá que X é uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros n=4 e p=\tfrac{1}{3}. A pergunta é: qual é a probabilidade de ocorrer exatamente 2 sucessos, ou seja, calcular \mathbb{P}(X=2).

Passo 2

A fórmula da distribuição binomial para a probabilidade de exatamente k sucessos em n ensaios independentes com probabilidade de sucesso p em cada ensaio é
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher k sucessos entre n ensaios). Aqui n=4, k=2 e p=\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Calcular o coeficiente binomial \binom{4}{2}. Pela definição de fatoriais:
\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!\,2!}=\frac{4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(2\cdot1)}=\frac{24}{4}=6.

Passo 4

Calcular p^{2} e (1-p)^{2} com p=\tfrac{1}{3}.
p^{2}=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}=\tfrac{1}{9}, \qquad 1-p=\tfrac{2}{3}, \qquad (1-p)^{2}=\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}=\tfrac{4}{9}.

Passo 5

Agora aplicar a fórmula:
\mathbb{P}(X=2)=\binom{4}{2}\,p^{2}\,(1-p)^{2}=6\cdot\tfrac{1}{9}\cdot\tfrac{4}{9}.
Multiplicando numeradores e denominadores:
6\cdot\tfrac{1}{9}\cdot\tfrac{4}{9}=\tfrac{24}{81}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 3:
\tfrac{24}{81}=\tfrac{8}{27}.

Passo 6

Portanto a probabilidade pedida é \tfrac{8}{27}. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa d).

Resposta

d) \tfrac{8}{27}

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