40% dos eleitores de uma certa população votaram, na última eleição, num certo candidato A. Se cinco eleitores forem escolhidos ao acaso, com reposição, a probabilidade de que três tenham votado no candidato.
A é igual a:
a) 12,48 \%
b) 17,58 \%
c) 23,04 \%
d) 25,78 \%
e) 28,64 \%

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A proporção de eleitores que votaram no candidato A é \,40\%.
  • Serão escolhidos \,5 eleitores ao acaso, com reposição (ou seja, cada escolha é independente).
  • Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente \,3 desses \,5 tenham votado no candidato A?

Passo 2

Por se tratar de um número fixo de ensaios independentes (aqui \,5 escolhas) e de cada ensaio ter apenas dois resultados (votou em A ou não), o modelo apropriado é a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade binomial para obter exatamente \,k sucessos em \,n ensaios é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \,n é o número total de ensaios (aqui \,n=5);
  • \,k é o número de sucessos desejados (aqui \,k=3);
  • \,p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui \,p=40\%=0,4);
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais ensaios serão os sucessos).
Explicando \binom{n}{k}: por definição
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.

Passo 3

Aplicando os valores \,n=5, \,k=3 e \,p=0,4 na fórmula:
P(X=3)=\binom{5}{3}\,(0,4)^{3}\,(1-0,4)^{5-3}.
Calculemos cada parte. Primeiro o coeficiente binomial:
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\,2!}=\frac{5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot2\cdot1}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.

Passo 4

Agora as potências:
(0,4)^{2}=0,16,
portanto
(0,4)^{3}=(0,4)^{2}\times0,4=0,16\times0,4=0,064.
E
(1-0,4)=0,6,\qquad (0,6)^{2}=0,36.

Passo 5

Multiplicando tudo:
P(X=3)=10\times0,064\times0,36.
Primeiro faça 0,064\times0,36. Multiplicando como inteiros: 64\times36=2304. Colocando as casas decimais (três casas em 0,064 e duas em 0,36, total cinco casas) temos 0,02304. Então
P(X=3)=10\times0,02304=0,2304.
Convertendo para porcentagem:
0,2304\times100=23,04\%.

Passo 6

Verificação rápida de consistência: a média esperada é n p=5\times0,4=2, então obter exatamente 3 sucessos é plausível e a probabilidade encontrada \,23,04\% está em linha com isso.

Resposta

c) 23,04\%

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