40% dos eleitores de uma certa população votaram, na última eleição, num certo candidato A. Se cinco eleitores forem escolhidos ao acaso, com reposição, a probabilidade de que três tenham votado no candidato.
A é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
A é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A proporção de eleitores que votaram no candidato A é
. - Serão escolhidos
eleitores ao acaso, com reposição (ou seja, cada escolha é independente). - Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente
desses tenham votado no candidato A?
Passo 2
Por se tratar de um número fixo de ensaios independentes (aqui
escolhas) e de cada ensaio ter apenas dois resultados (votou em A ou não), o modelo apropriado é a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade binomial para obter exatamente
sucessos em
ensaios é:
onde:
-
é o número total de ensaios (aqui ); -
é o número de sucessos desejados (aqui ); -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui ); -
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais ensaios serão os sucessos).
Explicando
: por definição
onde
(fatorial de
) é
.
Passo 3
Aplicando os valores
,
e
na fórmula:
Calculemos cada parte. Primeiro o coeficiente binomial:
Passo 4
Agora as potências:
portanto
E
Passo 5
Multiplicando tudo:
Primeiro faça
. Multiplicando como inteiros:
. Colocando as casas decimais (três casas em
e duas em
, total cinco casas) temos
. Então
Convertendo para porcentagem:
Passo 6
Verificação rápida de consistência: a média esperada é
, então obter exatamente
sucessos é plausível e a probabilidade encontrada
está em linha com isso.
Resposta
c)