Considere X uma variável aleatória com distribuição:
, calcule a média e o desvio-padrão da variável aleatória
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a média e o desvio-padrão da variável aleatória
definida por
, sabendo que
tem distribuição binomial com parâmetros
.
Informações dadas:
,
, e
.
Perguntas explícitas: calcular (1) a média de e (2) o desvio-padrão de
.
Informações dadas:
Perguntas explícitas: calcular (1) a média de
Passo 2
Conceitos e fórmulas úteis (explicação didática):
- A esperança (média) de uma variável aleatória
indica o valor médio esperado de . - Para uma transformação linear
vale a propriedade
Isto vem da linearidade da esperança:
(lembrando que
é constante).
- A variância mede a dispersão; para transformação linear temos
Isto ocorre porque constantes somadas não alteram a variância e multiplicar por
multiplica a variância por
.
- O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
Passo 3
Fórmulas específicas para a binomial (e por que elas valem):
- Uma variável binomial
pode ser vista como soma de ensaios de Bernoulli independentes: com . - Para uma Bernoulli
vale e . - Pela linearidade da esperança e independência:
Agora calculamos com os números dados:
Passo 4
Aplicando as fórmulas da transformação linear
:
- Média de
:
- Variância de
:
Passo 5
Desvio-padrão de
:
Para ter uma ideia numérica, sabemos
e
, então
fica entre
e
; calculando com aproximação obtemos
Observação de verificação:
e
(diferença pequena por arredondamento), o que confirma coerência.