Considere X uma variável aleatória com distribuição: \mathrm{X} \sim \operatorname{Binomial}(\mathrm{n}=20 ; \mathrm{p}=0,3), calcule a média e o desvio-padrão da variável aleatória \mathrm{Y}=3 \mathrm{X}+2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a média e o desvio-padrão da variável aleatória Y definida por Y=3X+2, sabendo que X tem distribuição binomial com parâmetros
\;X \sim \operatorname{Binomial}(\mathrm{n}=20;\; \mathrm{p}=0,3).
Informações dadas:
\mathrm{n}=20, \mathrm{p}=0,3, e Y=3X+2.
Perguntas explícitas: calcular (1) a média de Y e (2) o desvio-padrão de Y.

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (explicação didática):
  • A esperança (média) de uma variável aleatória X indica o valor médio esperado de X.
  • Para uma transformação linear Y=aX+b vale a propriedade
\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[aX+b]=a\,\mathbb{E}[X]+b.
Isto vem da linearidade da esperança: \mathbb{E}[aX+b]=a\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[b]=a\mathbb{E}[X]+b (lembrando que b é constante).
  • A variância mede a dispersão; para transformação linear temos
\operatorname{Var}(Y)=\operatorname{Var}(aX+b)=a^{2}\operatorname{Var}(X).
Isto ocorre porque constantes somadas não alteram a variância e multiplicar por a multiplica a variância por a^{2}.
  • O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_Y=\sqrt{\operatorname{Var}(Y)}.

Passo 3

Fórmulas específicas para a binomial (e por que elas valem):
  • Uma variável binomial X\sim\operatorname{Binomial}(n,p) pode ser vista como soma de n ensaios de Bernoulli independentes: X=\sum_{i=1}^{n}B_i com B_i\sim\operatorname{Bernoulli}(p).
  • Para uma Bernoulli B vale \mathbb{E}[B]=p e \operatorname{Var}(B)=p(1-p).
  • Pela linearidade da esperança e independência:
\mathbb{E}[X]=\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}[B_i]=n p,
\operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Var}(B_i)=n p(1-p).
Agora calculamos com os números dados:
\mathbb{E}[X]=20\cdot 0,3 = 6.
\operatorname{Var}(X)=20\cdot 0,3\cdot(1-0,3)=20\cdot 0,3\cdot 0,7=20\cdot 0,21=4,2.

Passo 4

Aplicando as fórmulas da transformação linear Y=3X+2:
  • Média de Y:
\mathbb{E}[Y]=3\mathbb{E}[X]+2=3\cdot 6+2=18+2=20.
  • Variância de Y:
\operatorname{Var}(Y)=3^{2}\operatorname{Var}(X)=9\cdot 4,2=37,8.

Passo 5

Desvio-padrão de Y:
\sigma_{Y}=\sqrt{\operatorname{Var}(Y)}=\sqrt{37,8}.
Para ter uma ideia numérica, sabemos \sqrt{36}=6 e \sqrt{39,69}=6,3, então \sqrt{37,8} fica entre 6 e 6,3; calculando com aproximação obtemos
\sqrt{37,8}\approx 6,149.
Observação de verificação: \sigma_X=\sqrt{4,2}\approx 2,049 e \sigma_Y=|3|\,\sigma_X\approx 3\cdot 2,049\approx 6,147 (diferença pequena por arredondamento), o que confirma coerência.

Resposta

\mathbb{E}[Y]=20
\sigma_{Y}=\sqrt{37,8}\approx 6,149

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