Em uma prova tipo teste tem 50 questões independentes. Cada questão tem 5 alternativas, em que apenas uma das alternativas é correta. Se uma pessoa resolve a prova respondendo a esmo as questões, qual a probabilidade de tirar Nota 7 ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
- Há
questões independentes. - Cada questão tem
alternativas, só correta. - A pessoa responde tudo a esmo (ou seja, escolhe aleatoriamente uma alternativa por questão).
- Pergunta: qual a probabilidade de tirar Nota
?
Vou traduzir "tirar Nota
" para número de acertos (isto é necessário para poder calcular a probabilidade): supondo a escala usual em que a nota varia de
a
e é proporcional ao número de acertos, a nota é
Queremos então a nota
, logo precisamos de
acertos tal que
Resolvendo isso obtemos
. Portanto a pergunta é: qual a probabilidade de acertar exatamente
questões respondendo tudo a esmo?
Passo 2
Qual método usar? Aqui temos:
- número fixo de tentativas
, - cada tentativa tem apenas dois resultados relevantes: “acertou” (sucesso) ou “errou” (falha),
- as questões são independentes,
- probabilidade de sucesso em cada tentativa é a mesma:
(uma alternativa correta entre cinco).
Essas condições são exatamente as da distribuição binomial. Então modelamos o número de acertos por uma variável aleatória
com
A definição (fórmula) da probabilidade de exatamente
sucessos em
ensaios independentes com probabilidade de sucesso
é:
Aqui
é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras podemos escolher quais
das
tentativas serão os sucessos; em termos de fatoriais,
onde
(lê-se "fatorial de
") é
. Isso é só para entender o que o coeficiente representa; para provas muitas vezes deixar em forma de combinação é suficiente.
Passo 3
Aplicando a fórmula da binomial ao nosso caso com
,
e
, obtemos a probabilidade desejada:
Expliquei cada fator:
-
conta as escolhas de quais questões são acertadas; -
é a probabilidade de acertar essas questões (cada uma com probabilidade ); -
é a probabilidade de errar as restantes.
Observação prática:
, às vezes essa forma com
é mais conveniente.
Passo 4
Um comentário sobre o tamanho do valor: a esperança (média) da binomial é
e o desvio padrão é
Tentar obter
acertos está a
desvios padrão acima da média — algo extremamente improvável. Assim a expressão do Passo 3 dá um número praticamente zero (muito, muito pequeno). Para a resolução em prova, a resposta em forma fechada da Passo 3 é a correta; se precisarem de um valor numérico, deve-se usar calculadora ou software, mas geralmente o enunciado aceita a forma binomial.
Passo 5
Exemplo curto para fixar a ideia: se em vez de
fossem
questões e quiséssemos exatamente
acerto com
, a fórmula daria
Isto mostra como montar e interpretar a fórmula sem fazer contas gigantescas.