Em uma prova tipo teste tem 50 questões independentes. Cada questão tem 5 alternativas, em que apenas uma das alternativas é correta. Se uma pessoa resolve a prova respondendo a esmo as questões, qual a probabilidade de tirar Nota 7 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
  • 50 questões independentes.
  • Cada questão tem 5 alternativas, só 1 correta.
  • A pessoa responde tudo a esmo (ou seja, escolhe aleatoriamente uma alternativa por questão).
  • Pergunta: qual a probabilidade de tirar Nota 7?
Vou traduzir "tirar Nota 7" para número de acertos (isto é necessário para poder calcular a probabilidade): supondo a escala usual em que a nota varia de 0 a 10 e é proporcional ao número de acertos, a nota é
\text{nota} = 10\cdot\frac{\text{nº de acertos}}{50}.º
Queremos então a nota 7, logo precisamos de k acertos tal que
10\cdot\frac{k}{50}=7.
Resolvendo isso obtemos k=35. Portanto a pergunta é: qual a probabilidade de acertar exatamente 35 questões respondendo tudo a esmo?

Passo 2

Qual método usar? Aqui temos:
  • número fixo de tentativas n=50,
  • cada tentativa tem apenas dois resultados relevantes: “acertou” (sucesso) ou “errou” (falha),
  • as questões são independentes,
  • probabilidade de sucesso em cada tentativa é a mesma: p=\dfrac{1}{5} (uma alternativa correta entre cinco).
Essas condições são exatamente as da distribuição binomial. Então modelamos o número de acertos por uma variável aleatória X com
X\sim\mathrm{Binomial}(n=50,p=\tfrac{1}{5}).
A definição (fórmula) da probabilidade de exatamente k sucessos em n ensaios independentes com probabilidade de sucesso p é:
P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}.
Aqui \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras podemos escolher quais k das n tentativas serão os sucessos; em termos de fatoriais,
\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se "fatorial de n") é n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Isso é só para entender o que o coeficiente representa; para provas muitas vezes deixar em forma de combinação é suficiente.

Passo 3

Aplicando a fórmula da binomial ao nosso caso com n=50, k=35 e p=\tfrac{1}{5}, obtemos a probabilidade desejada:
P(X=35)=\binom{50}{35}\left(\frac{1}{5}\right)^{35}\left(\frac{4}{5}\right)^{15}.
Expliquei cada fator:
  • \binom{50}{35} conta as escolhas de quais 35 questões são acertadas;
  • \left(\dfrac{1}{5}\right)^{35} é a probabilidade de acertar essas 35 questões (cada uma com probabilidade 1/5);
  • \left(\dfrac{4}{5}\right)^{15} é a probabilidade de errar as 15 restantes.
Observação prática: \binom{50}{35}=\binom{50}{15}, às vezes essa forma com 15 é mais conveniente.

Passo 4

Um comentário sobre o tamanho do valor: a esperança (média) da binomial é
\mathbb{E}[X]=np=50\cdot\frac{1}{5}=10,
e o desvio padrão é
\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{50\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{4}{5}}=\sqrt{8}\approx2{,}828.
Tentar obter 35 acertos está a \dfrac{35-10}{\sqrt{8}}\approx8{,}84 desvios padrão acima da média — algo extremamente improvável. Assim a expressão do Passo 3 dá um número praticamente zero (muito, muito pequeno). Para a resolução em prova, a resposta em forma fechada da Passo 3 é a correta; se precisarem de um valor numérico, deve-se usar calculadora ou software, mas geralmente o enunciado aceita a forma binomial.

Passo 5

Exemplo curto para fixar a ideia: se em vez de 50 fossem 3 questões e quiséssemos exatamente 1 acerto com p=\tfrac{1}{5}, a fórmula daria
P(X=1)=\binom{3}{1}\left(\frac{1}{5}\right)^{1}\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=3\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{16}{25}=\frac{48}{125}.
Isto mostra como montar e interpretar a fórmula sem fazer contas gigantescas.

Resposta

\boxed{P=\binom{50}{35}\left(\dfrac{1}{5}\right)^{35}\left(\dfrac{4}{5}\right)^{15}}

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