Considere vários sistemas MIMO sem memória (instantâneo) descritos pela mesma relação y_{i}=S u_{i}. Obtenha o resultado da concatenação em série de 10 desses sistemas, ou seja, fazendo-se u_{i+1}=y_{i}, i=1,2, \ldots, 9, para
Dica: Faça uso de matrizes idempotentes. Uma matriz quadrada M é idenpotente se M^{2}=M.
Passo 1
O enunciado dá uma cadeia de sistemas sem memória com a mesma relação de entrada-saída
y_{i}=S\,u_{i},\qquad i=1,2,\dots
e pede a concatenação em série de 10 desses sistemas, ou seja obter a transformação total de u_{1} para y_{10} quando u_{i+1}=y_{i} para i=1,\dots,9. Portanto o que precisamos calcular é S^{10} e a ação final y_{10}=S^{10}u_{1}.
A matriz S fornecida tem dimensão 8\times8. Extraindo blocos 4\times4 dela (peguei esses blocos da matriz enviada):
e J_{4} é a matriz 4\times4 de todos uns (peguei isso olhando os \tfrac{1}{4} na matriz dada).]
Passo 2
Vamos estudar B porque a dica do enunciado menciona matrizes idempotentes. Primeiro explicar o que é idempotente de um jeito direto: uma matriz M é idempotente se
M^{2}=M.
Isto é, multiplicá-la por si mesma não altera-a.
No nosso caso, escrevemos J_{4}=ee^{T} com e\in\mathbb{R}^{4} o vetor de todos uns. Então
Lembrando B=\dfrac{1}{4}J_{4}, temos 10B=\dfrac{10}{4}J_{4}=\dfrac{5}{2}J_{4}. Portanto os blocos ficam numéricos: bloco superior-esquerdo é I_{4}, superior-direito é matriz 4\times4 com todos os elementos iguais a \dfrac{5}{2}, inferior-esquerdo é 0_{4} e inferior-direito é matriz com todos os elementos iguais a \dfrac{1}{4}.
Também é útil escrever a ação sobre u_{1}. Particionando