Considere vários sistemas MIMO sem memória (instantâneo) descritos pela mesma relação y_{i}=S u_{i}. Obtenha o resultado da concatenação em série de 10 desses sistemas, ou seja, fazendo-se u_{i+1}=y_{i}, i=1,2, \ldots, 9, para
S=\left[\begin{array}{llllllll} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 \end{array}\right]
Dica: Faça uso de matrizes idempotentes. Uma matriz quadrada M é idenpotente se M^{2}=M.

Passo 1

O enunciado dá uma cadeia de sistemas sem memória com a mesma relação de entrada-saída
y_{i}=S\,u_{i},\qquad i=1,2,\dots
e pede a concatenação em série de 10 desses sistemas, ou seja obter a transformação total de u_{1} para y_{10} quando u_{i+1}=y_{i} para i=1,\dots,9. Portanto o que precisamos calcular é S^{10} e a ação final y_{10}=S^{10}u_{1}.
A matriz S fornecida tem dimensão 8\times8. Extraindo blocos 4\times4 dela (peguei esses blocos da matriz enviada):
  • bloco superior-esquerdo: \;I_{4} (identidade 4\times4);
  • bloco superior-direito: uma matriz com todos os elementos iguais a \dfrac{1}{4} (vou chamar essa matriz de B);
  • bloco inferior-esquerdo: \;0_{4} (matriz nula 4\times4);
  • bloco inferior-direito: novamente B.
Em notação de blocos:
S=\begin{pmatrix}I_{4} & B\\[4pt] 0_{4} & B\end{pmatrix}, \qquad\text{onde}\qquad B=\frac{1}{4}J_{4},
e J_{4} é a matriz 4\times4 de todos uns (peguei isso olhando os \tfrac{1}{4} na matriz dada).]

Passo 2

Vamos estudar B porque a dica do enunciado menciona matrizes idempotentes. Primeiro explicar o que é idempotente de um jeito direto: uma matriz M é idempotente se
M^{2}=M.
Isto é, multiplicá-la por si mesma não altera-a.
No nosso caso, escrevemos J_{4}=ee^{T} com e\in\mathbb{R}^{4} o vetor de todos uns. Então
J_{4}^{2}=(ee^{T})(ee^{T})=e(e^{T}e)e^{T}= (e^{T}e)\,ee^{T}.
Como e^{T}e=4 (soma de quatro uns), segue
J_{4}^{2}=4J_{4}.
Agora, como B=\dfrac{1}{4}J_{4}, calculemos B^{2}:
B^{2}=\left(\frac{1}{4}J_{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}J_{4}^{2}=\frac{1}{16}\cdot 4J_{4}=\frac{1}{4}J_{4}=B.
Logo B é idempotente: B^{2}=B. Isso é uma propriedade muito útil para potências de S.

Passo 3

Agora vamos multiplicar S por si mesma usando a forma em blocos. Lembrando a regra de multiplicação de blocos:
\begin{pmatrix}A & B\\\ C & D\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A & B\\\ C & D\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}AA+BC & AB+BD\\\ CA+DC & CB+DD\end{pmatrix}.
Aplicando com A=I_{4},\\ C=0_{4},\\ D=B obtemos
S^{2}= \begin{pmatrix} I_{4}\cdot I_{4}+B\cdot 0_{4} & I_{4}\cdot B + B\cdot B\\[4pt] 0_{4}\cdot I_{4}+B\cdot 0_{4} & 0_{4}\cdot B + B\cdot B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_{4} & B + B^{2}\\[4pt] 0_{4} & B^{2} \end{pmatrix}.
Usando B^{2}=B chega-se a
S^{2}=\begin{pmatrix}I_{4} & 2B\\[4pt]0_{4} & B\end{pmatrix}.]

Passo 4

Observando S,S^{2} faz-se a hipótese (construtiva) de que para todo inteiro k\ge1
S^{k}=\begin{pmatrix}I_{4} & kB\\[4pt]0_{4} & B\end{pmatrix}.
Vamos provar por indução em k.
Base k=1: é verdade porque S=\begin{pmatrix}I_{4} & 1\cdot B\\[4pt]0_{4} & B\end{pmatrix}.
Passo indutivo: suponha S^{k}=\begin{pmatrix}I_{4} & kB\\[4pt]0_{4} & B\end{pmatrix}. Então
S^{k+1}=S^{k}S = \begin{pmatrix}I_{4} & kB\\[4pt]0_{4} & B\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I_{4} & B\\[4pt]0_{4} & B\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_{4}\! & I_{4}B + kB\!B\\[4pt] 0_{4}\! & B^{2} \end{pmatrix}.
Como I_{4}B=B e B^{2}=B, o bloco superior-direito fica B + kB = (k+1)B, e o bloco inferior-direito fica B. Portanto
S^{k+1}=\begin{pmatrix}I_{4} & (k+1)B\\[4pt]0_{4} & B\end{pmatrix},
concluindo a indução. Assim a fórmula é válida para todo k\ge1.]

Passo 5

Aplicando k=10 obtemos
S^{10}=\begin{pmatrix}I_{4} & 10\,B\\[4pt]0_{4} & B\end{pmatrix}.
Lembrando B=\dfrac{1}{4}J_{4}, temos 10B=\dfrac{10}{4}J_{4}=\dfrac{5}{2}J_{4}. Portanto os blocos ficam numéricos: bloco superior-esquerdo é I_{4}, superior-direito é matriz 4\times4 com todos os elementos iguais a \dfrac{5}{2}, inferior-esquerdo é 0_{4} e inferior-direito é matriz com todos os elementos iguais a \dfrac{1}{4}.
Também é útil escrever a ação sobre u_{1}. Particionando
u_{1}=\begin{pmatrix}u^{(1)}\\[4pt]u^{(2)}\end{pmatrix},
com u^{(1)},u^{(2)}\in\mathbb{R}^{4}, tem-se
y_{10}=S^{10}u_{1}= \begin{pmatrix} I_{4} & \dfrac{5}{2}J_{4}\\[6pt] 0_{4} & \dfrac{1}{4}J_{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u^{(1)}\\[4pt]u^{(2)}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u^{(1)}+\dfrac{5}{2}J_{4}u^{(2)}\\[6pt] \dfrac{1}{4}J_{4}u^{(2)} \end{pmatrix}.
Como J_{4}v=(\mathbf{1}^{T}v)\,\mathbf{1} ( \mathbf{1} é o vetor de uns), isto equivale a
\text{(componentes superiores)}\;=\;u^{(1)}+\dfrac{5}{2}\bigl(\text{sum of entries of }u^{(2)}\bigr)\,\mathbf{1},
\text{(componentes inferiores)}\;=\;\dfrac{1}{4}\bigl(\text{sum of entries of }u^{(2)}\bigr)\,\mathbf{1}.]

Passo 6

Resumo prático para a prova: reconheça o bloco B=\tfrac{1}{4}J_{4} como idempotente e use a fórmula por indução
S^{k}=\begin{pmatrix}I_{4} & kB\\[4pt]0_{4} & B\end{pmatrix},
que dá imediatamente o caso k=10.]

Resposta

S^{10}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \dfrac{5}{2} & \dfrac{5}{2} & \dfrac{5}{2} & \dfrac{5}{2}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0 & \dfrac{5}{2} & \dfrac{5}{2} & \dfrac{5}{2} & \dfrac{5}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 & \dfrac{5}{2} & \dfrac{5}{2} & \dfrac{5}{2} & \dfrac{5}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 & \dfrac{5}{2} & \dfrac{5}{2} & \dfrac{5}{2} & \dfrac{5}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \end{pmatrix}, \qquad y_{10}=S^{10}u_{1}.]

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