Considere o seguinte sistema MIMO com variáveis de entrada escalares (no domínio de Laplace) \widehat{u}_{1}(s), \widehat{u}_{2}(s), \widehat{u}_{3}(s) e variáveis de saída escalares \widehat{y}_{1}(s), \widehat{y}_{2}(s), \widehat{y}_{3}(s) relacionadas de acordo com o seguinte sistema de equações
onde a e b são números reais que representam parâmetros a serem sintonizados no sistema.
Desenhe o diagrama de blocos correspondente ao sistema dado.
Suponha que possamos escolher todas as entradas como sendo degrais da forma \widehat{u}_{i}(s)=\frac{k_{i}}{s}, k_{i} \in \mathbb{R}, i=1,2,3 e denote o valor em regime permante para a saída no tempo y_{i}(t) como sendo dada por \bar{y}_{i}, i=1,2,3.
2.1.a) Obtenha as expressões de \bar{y}_{i}, i=1,2,3 em função de k_{j}, j=1,2,3.
2.1b) Para as relações do item 2.1a) obtenha a representações correspondentes em termos de diagrama de blocos e em termos de equação matricial.
Supondo a=0 e b=1, é possível encontrar uma trinca de valores para as amplitudes \left(k_{1}, k_{2}, k_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} para cada um dos infinitos vetores de valores desejados \bar{y}=\left[\begin{array}{lll}\bar{y}_{1} & \bar{y}_{2} & \bar{y}_{3}\end{array}\right]^{T} \in \mathbb{R}^{3} ? Em particular, verifique se é possível encontrar valores para as amplitudes k_{i} de forma a se obter
3.1.a) \bar{y}=\left[\begin{array}{lll}\bar{y}_{1} & \bar{y}_{2} & \bar{y}_{3}\end{array}\right]^{T}=\left[\begin{array}{lll}2 & 6 & 5\end{array}\right]^{T}
3.1.b) \bar{y}=\left[\begin{array}{lll}\bar{y}_{1} & \bar{y}_{2} & \bar{y}_{3}\end{array}\right]^{T}=\left[\begin{array}{lll}7 & 3 & 10\end{array}\right]^{T}
Caso algum dos valores do item anterior seja atingível para o vetor de saída por uma escolha adequada das amplitudes k_{i}, caso possível, encontre três soluções \left(k_{1}, k_{2}, k_{3}\right) distintas. Uma solução envolvendo apenas as entradas u_{1} \mathrm{e} u_{2} (ou seja, u_{3}=0 ); uma outra envolvendo apenas as entradas u_{2} e u_{3} (ou seja, u_{1}=0 ) e uma outra envolvendo apenas as entradas u_{1} e u_{3} (ou seja, u_{2}=0 ). Caso não seja possível impor o vetor de saída desejado \bar{y} para algum par de entradas, justificar o porque.
Obtenha o conjunto de todos os valores possíveis para (a, b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} de forma que seja sempre possível determinar quaisquer valores para \bar{y}_{i} \in \mathbb{R}, i= 1,2,3 por escolha adequada de k_{i}, i=1,2,3. Este conjunto forma um espaço vetorial?
Passo 1
O enunciado dá um sistema MIMO (três entradas escalares e três saídas escalares) descrito pelas equações (peguei todas as expressões do enunciado):
As perguntas são (resumindo e numerando exatamente como o enunciado):
Desenhar o diagrama de blocos correspondente.
Supondo \widehat{u}_i(s)=\dfrac{k_i}{s} (degrau de amplitude k_i), definir \bar{y}_i=\lim_{t\to\infty} y_i(t) e:
2.1.a) obter expressões de \bar{y}_i em função dos k_j.
2.1.b) apresentar a representação em diagrama de blocos e em equação matricial.
Com a=0 e b=1: existe para todo \bar{y}\in\mathbb{R}^3 uma trinca (k_1,k_2,k_3)? Em particular, verificar se existem k_i para os vetores dados em 3.1.a e 3.1.b.
Se possível, fornecer três soluções distintas (cada uma com apenas dois dos u_i não nulos) quando o vetor for alcançável; caso contrário justificar.
Encontrar o conjunto de (a,b)\in\mathbb{R}^2 tal que para quaisquer \bar{y}\in\mathbb{R}^3 exista (k_1,k_2,k_3) que gere \bar{y}. Indicar se esse conjunto é um espaço vetorial.
Passo 2
Diagrama de blocos (explicação de como desenhar, passo a passo):
Imagine três fontes de entrada u_1,u_2,u_3 (cada uma com bloco \dfrac{k_i}{s} no domínio de Laplace se considerarmos degraus).
De cada entrada saem três ramos, cada ramo passando por um bloco que é a função de transferência entre aquela entrada e uma das saídas. Esses três ramos se somam no somador da respectiva saída.
Escrever explicitamente as funções de transferência da entrada u_j para a saída y_i (esta é a forma matricial dos blocos): montar a matriz de funções de transferência G(s) com entradas G_{ij}(s), onde
No diagrama, cada G_{ij}(s) é um bloco entre u_j e o somador que produz y_i. Isso conclui o desenho conceitual do diagrama de blocos.]
Passo 3
2.1.a) Cálculo de \bar{y}_i usando Teorema do Valor Final (aula curta e aplicação):
Aula curta: o Teorema do Valor Final diz que, para um sinal y(t) com transformada \widehat{y}(s) e quando todos os polos de s\,\widehat{y}(s) têm parte real negativa (sistema estável), vale
Aqui todos os denominadores dados têm raízes com parte real negativa (confirmamos que s+2, 2s+1, (s+1)^2, 3s^2+2s+1, s^2+2s+1/2 têm polos no semiplano esquerdo), então podemos aplicar o teorema.
Aplicação: para \widehat{u}_j(s)=\dfrac{k_j}{s} temos
pois \dfrac{b}{s^2+2s+1/2}\big|_{s=0}=\dfrac{b}{1/2}=2b.
Passo 4
2.1.b) Representação em diagrama de blocos e em equação matricial (aula/explicação):
Aula curta: em regime permanente, cada bloco é substituído pelo seu ganho DC G_{ij}(0). Assim o diagrama de blocos reduz-se a três ganhos constantes de cada entrada para cada saída, somados por somadores. Isso é útil na prova: basta calcular G_{ij}(0) e montar um sistema linear.
Equação matricial: definindo \bar{y}=\begin{pmatrix}\bar{y}_1\\[2pt]\bar{y}_2\\[2pt]\bar{y}_3\end{pmatrix} e k=\begin{pmatrix}k_1\\[2pt]k_2\\[2pt]k_3\end{pmatrix}, a relação em regime permanente é
Aula curta sobre alcance de \bar{y}: todos os vetores \bar{y} são alcançáveis por escolha de k sse G_0 é inversível (matriz quadrada de posto 3). Se \det(G_0)=0 então a imagem (coluna-espaço) tem dimensão <3 e apenas um subespaço de \mathbb{R}^3 é atingível.
Portanto \det(G_0)=0 e G_0 é singular: nem todo \bar{y}\in\mathbb{R}^3 é alcançável.]
Passo 6
3.1.a) Verificar se \bar{y}=(2,6,5)^T\) é alcançável (resolver \(G_0 k=\bar{y}\) e mostrar impossibilidade):
- Escrever o sistema linear (peguei os coeficientes da matriz \(G_0\) com \(a=0,b=1\)):
\[\begin{cases} k_1 + 2k_2 + 3k_3 = 2,\\[4pt] 3k_1 -2k_2 - k_3 = 6,\\[4pt] 4k_1 + 2k_3 = 5. \end{cases}
Resolver sistematicamente: da terceira equação 4k_1+2k_3=5\Rightarrow k_3=(5-4k_1)/2\]. Substituindo nas outras duas obtém-se (após simplificações mostradas abaixo) uma contradição numérica: substituindo em (1) e (2) e eliminando \(k_2 aparecem equações incompatíveis.
Passo algébrico resumido (detalhado no desenvolvimento): a substituição leva a uma igualdade 3=6 falsa, logo o sistema é inconsistente. Portanto não existe (k_1,k_2,k_3) que gere \bar{y}=(2,6,5)^T. Conclusão: não alcançável.]
Da terceira equação 4k_1+2k_3=10\Rightarrow k_3=5-2k_1\]. Substituindo nas demais e eliminando \(k_2 encontra-se que as duas primeiras equações ficam consistentes e reduzem-se a uma identidade (ou seja, uma das equações fica redundante), obtendo-se uma família infinita de soluções parametrizada por k_1. Explicitamente:
k_3=5-2k_1,\qquad k_2=\dfrac{5k_1-8}{2},
com k_1 livre. Portanto há infinitas soluções; isto era previsto pois \operatorname{rank}(G_0)=2 neste caso.
Agora pediram três soluções distintas com restrições (só duas entradas não-nulas em cada uma). Usando as fórmulas acima escolhemos k_1 de forma a zerar a entrada desejada:
Solução envolvendo apenas u_1 e u_2 (u_3=0\Rightarrow k_3=0): impondo k_3=0 dá 5-2k_1=0\Rightarrow k_1=\tfrac{5}{2}. Então k_2=\dfrac{5\cdot(5/2)-8}{2}=\dfrac{25/2-8}{2}=\dfrac{9/2}{2}=\dfrac{9}{4}. Solução: \big(k_1,k_2,k_3\big)=\big(\tfrac{5}{2},\tfrac{9}{4},0\big).
Solução envolvendo apenas u_2 e u_3 (u_1=0\Rightarrow k_1=0): então k_3=5 e k_2=(0-8)/2=-4. Solução: \big(0,-4,5\big).
Solução envolvendo apenas u_1 e u_3 (u_2=0\Rightarrow k_2=0): impondo k_2=0 dá 5k_1-8=0\Rightarrow k_1=\tfrac{8}{5}. Então k_3=5-2\cdot\tfrac{8}{5}=\tfrac{9}{5}. Solução: \big(\tfrac{8}{5},0,\tfrac{9}{5}\big).
Conclusão: \bar{y}=(7,3,10)^T é alcançável e as três soluções pedidas foram encontradas. Para \bar{y}=(2,6,5)^T não existe solução.]
Passo 8
Condição sobre (a,b) para que qualquer \bar{y}\in\mathbb{R}^3 seja alcançável (teoria + cálculo):
Teoria curta: para que qualquer \bar{y} seja alcançável por algum k é necessário e suficiente que G_0 seja invertível (posto máximo =3), ou seja \det(G_0)\neq 0.
Calcular \det(G_0) simbolicamente (passo a passo):
Em outras palavras, todos os pares (a,b) que não satisfazem a equação afim 5a -8b +8=0 tornam G_0 invertível e garantem que qualquer \bar{y} seja obtido por uma escolha única de k.
A pergunta final: “Este conjunto forma um espaço vetorial?”
Observação: o conjunto pedido é \{(a,b)\in\mathbb{R}^2 \mid 5a -8b +8 \neq 0\}, ou seja, \mathbb{R}^2 menos a reta afim 5a-8b+8=0. Um espaço vetorial deve ser fechado por somas e multiplicações por escalares e conter o vetor zero. Embora esse conjunto contenha o vetor zero (pois 5\cdot 0 -8\cdot 0 +8 =8\neq 0), ele não é fechado sob multiplicação por escalares: dado um (a,b) com 5a -8b +8\neq 0, existe um escalar t tal que t(a,b) satisfaça 5(ta)-8(tb)+8=0 (basta escolher t=-8/(5a-8b) quando 5a-8b\neq 0). Logo a multiplicação por escalares pode levar a um ponto excluído, logo o conjunto não é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2. Conclusão: não é um espaço vetorial.]
Passo 9
Recapitulando as respostas essenciais (preparação para conferir rápido na prova): já fizemos os cálculos e obtivemos condições e exemplos concretos nos passos anteriores. Isso encerra a resolução detalhada com justificativas, métodos e exemplos práticos.
Resposta
Diagrama de blocos: três entradas u_1,u_2,u_3 com ramos para as três saídas; matriz de funções de transferência
Para a=0,b=1: G_0=\begin{pmatrix}1&2&3\\[4pt]3&-2&-1\\[4pt]4&0&2\end{pmatrix} tem \det(G_0)=0, logo nem todo \bar{y} é alcançável.
3.1.a) Para \bar{y}=(2,6,5)^T não existe solução (sistema inconsistente).
3.1.b) Para \bar{y}=(7,3,10)^T existem infinitas soluções; parametrização: k_1 livre, k_3=5-2k_1,\; k_2=(5k_1-8)/2. Três soluções pedidas: \big(\tfrac{5}{2},\tfrac{9}{4},0\big),\\ (0,-4,5),\\ \big(\tfrac{8}{5},0,\tfrac{9}{5}\big).
Valores de (a,b) que permitem alcançar qualquer \bar{y}: todos os pares tais que