Determine a realização paralela da seguinte função de transferência.
Passo 1
O enunciado pede explicitamente a realização paralela da função de transferência dada. Dados fornecidos:
- Função de transferência:
O que se deve entregar: uma expressão em forma paralela (soma de blocos de primeira ordem ou termos mais simples) que, quando somada, reproduz a função de transferência acima. Também é útil fornecer uma realização em espaço de estados correspondente (dois estados, um por ramo).
Passo 2
Vamos olhar o denominador e fatorá‑lo para ver que tipos de termos de primeira ordem surgem. Fatorar um polinômio quadrático consiste em achar dois números que multiplicados dão o termo constante e somados dão o coeficiente de
.
O denominador é
Procuramos fatores lineares
tais que
e
. Os números
e
satisfazem isso, logo
Passo 3
A ideia da realização paralela: escrever a função de transferência como soma de termos de primeira ordem (cada termo é um bloco separado ligado em paralelo). Como o grau do numerador (
) é menor que o do denominador (
), podemos usar a decomposição em frações parciais no formato
Aqui
e
são constantes reais que precisamos determinar. Esse formato corresponde a dois blocos em paralelo: um com ganho
e pólo em
, outro com ganho
e pólo em
.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
obtemos uma identidade polinomial:
Expandindo o lado direito:
Agora igualamos coeficientes dos polinômios em
:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Então
.
Passo 5
Substituindo
e
na decomposição, temos a realização paralela:
Interpretação prática (como blocos em paralelo): a entrada
alimenta dois blocos em paralelo; o primeiro bloco tem transferência
, o segundo tem transferência
. As saídas desses dois blocos são somadas para formar
.
Passo 6
Para ser bem concreto e preparar para a prova, mostro também uma realização em espaço de estados com dois estados (um por ramo). Para um termo genérico
uma realização simples de primeira ordem é dada por
Aplicando isso aos dois ramos:
- Ramo 1 (
): - Ramo 2 (
):
Somando
e
obtém‑se
. Agrupando em vetores, a realização em espaço de estados é
Aqui
. Não há termo direto
, logo
.]
Passo 7
Comentários rápidos de prova e verificação:
- A decomposição pode ser verificada recompondo os ramos:
que é a função original. - Polos em
e indicam estabilidade (pólos com parte real negativa). - No diagrama em bloco, desenhe entrada X ramificando para dois blocos
e e um somador que soma as saídas para formar Y.