Determine a realização paralela da seguinte função de transferência.
\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{4 s+28}{s^{2}+6 s+5}

Passo 1

O enunciado pede explicitamente a realização paralela da função de transferência dada. Dados fornecidos:
  • Função de transferência:
\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{4 s+28}{s^{2}+6 s+5}.
O que se deve entregar: uma expressão em forma paralela (soma de blocos de primeira ordem ou termos mais simples) que, quando somada, reproduz a função de transferência acima. Também é útil fornecer uma realização em espaço de estados correspondente (dois estados, um por ramo).

Passo 2

Vamos olhar o denominador e fatorá‑lo para ver que tipos de termos de primeira ordem surgem. Fatorar um polinômio quadrático consiste em achar dois números que multiplicados dão o termo constante e somados dão o coeficiente de s.
O denominador é
s^{2}+6 s+5.
Procuramos fatores lineares (s+a)(s+b) tais que a+b=6 e ab=5. Os números 1 e 5 satisfazem isso, logo
s^{2}+6 s+5=(s+1)(s+5).

Passo 3

A ideia da realização paralela: escrever a função de transferência como soma de termos de primeira ordem (cada termo é um bloco separado ligado em paralelo). Como o grau do numerador ( 1) é menor que o do denominador ( 2), podemos usar a decomposição em frações parciais no formato
\frac{4 s+28}{(s+1)(s+5)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+5}.
Aqui A e B são constantes reais que precisamos determinar. Esse formato corresponde a dois blocos em paralelo: um com ganho A e pólo em -1, outro com ganho B e pólo em -5.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+5) obtemos uma identidade polinomial:
4 s+28 = A(s+5)+B(s+1).
Expandindo o lado direito:
A(s+5)+B(s+1)=(A+B)s+(5A+B).
Agora igualamos coeficientes dos polinômios em s:
  • Coeficiente de s: A+B=4.
  • Termo constante: 5A+B=28.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(5A+B)-(A+B)=28-4 \quad\Rightarrow\quad 4A=24 \quad\Rightarrow\quad A=6.
Então B=4-A=4-6=-2.

Passo 5

Substituindo A e B na decomposição, temos a realização paralela:
\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{6}{s+1}-\frac{2}{s+5}.
Interpretação prática (como blocos em paralelo): a entrada X(s) alimenta dois blocos em paralelo; o primeiro bloco tem transferência \dfrac{6}{s+1}, o segundo tem transferência \dfrac{-2}{s+5}. As saídas desses dois blocos são somadas para formar Y(s).

Passo 6

Para ser bem concreto e preparar para a prova, mostro também uma realização em espaço de estados com dois estados (um por ramo). Para um termo genérico \dfrac{k}{s+a} uma realização simples de primeira ordem é dada por
\dot{x}=-a x + u,\qquad y = k x.
Aplicando isso aos dois ramos:
  • Ramo 1 ( k=6,\\ a=1): \dot{x}_1 = -1\;x_1 + u,\qquad y_1 = 6\;x_1.
  • Ramo 2 ( k=-2,\\ a=5): \dot{x}_2 = -5\;x_2 + u,\qquad y_2 = -2\;x_2.
Somando y_1 e y_2 obtém‑se y. Agrupando em vetores, a realização em espaço de estados é
\dot{x}=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & -5\end{pmatrix}x+\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}u, \qquad y=\begin{pmatrix}6 & -2\end{pmatrix}x.
Aqui x=\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix}. Não há termo direto D, logo D=0.]

Passo 7

Comentários rápidos de prova e verificação:
  • A decomposição pode ser verificada recompondo os ramos: \frac{6}{s+1}-\frac{2}{s+5}=\frac{6(s+5)-2(s+1)}{(s+1)(s+5)}=\frac{6s+30-2s-2}{(s+1)(s+5)}=\frac{4s+28}{s^{2}+6s+5},que é a função original.
  • Polos em -1 e -5 indicam estabilidade (pólos com parte real negativa).
  • No diagrama em bloco, desenhe entrada X ramificando para dois blocos 6/(s+1) e -2/(s+5) e um somador que soma as saídas para formar Y.

Resposta

\displaystyle \frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{6}{s+1}-\frac{2}{s+5}
\dot{x}=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & -5\end{pmatrix}x+\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}u,\qquad y=\begin{pmatrix}6 & -2\end{pmatrix}x]

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