Considere \vec{F}(x, y, z)=\left(x z, y z, x^{2}+y^{2}\right). A curva C é a interseção entre o cilindro x^{2}+y^{2}=1 e o plano z=x+y. Considere como superfície S a parte do plano z=x+y limitada por C. Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
  • Vetor campo \vec{F}(x,y,z)=\left(x z,\; y z,\; x^{2}+y^{2}\right).
  • Curva C é a interseção entre o cilindro \;x^{2}+y^{2}=1\; e o plano \;z=x+y\;. Portanto C é uma curva fechada (um “círculo inclinado”).
  • Superfície S é a parte do plano \;z=x+y\; limitada por C. Logo S é a região planar cuja projeção no plano xy é o disco unitário \;x^{2}+y^{2}\le 1.
  • O que pedir: calcular \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Observação: o enunciado não especifica orientação de C. Quando for necessário escolher orientação para aplicar teoremas, vou adotar a normal do plano com componente z positiva (normal “para cima”), o que corresponde a percorrer C no sentido anti-horário quando visto de cima. Se a orientação fosse a oposta, o sinal mudaria — mas vamos ver o resultado.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicadinha e amiga): existem duas formas principais de calcular \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}: parametrizar diretamente a curva C e integrar, ou usar o Teorema de Stokes (que transforma a integral de linha numa integral de superfície do rotacional). Aqui o uso do Teorema de Stokes é mais prático porque a curva é exatamente a fronteira de uma superfície simples S (parte do plano) e o rotacional de \vec{F} vai dar algo simples. Além disso a projeção da superfície no plano xy é o disco unitário, que é fácil de integrar. Vou então aplicar o Teorema de Stokes.
Breve aula: o Teorema de Stokes diz o seguinte. Seja S uma superfície orientada com fronteira \partial S=C. Então
\displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS,
onde \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F}, \vec{n} é o versor normal unitário escolhido (orientação de S) e dS é o elemento de área da superfície. Uma forma prática é parametrizar S por \vec{r}(u,v) e usar \vec{r}_u\times\vec{r}_v\,du\,dv como o vetor normal não-unitário; nesse caso
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS=\iint_{D}(\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{r}_u\times\vec{r}_v)\,du\,dv,
onde D é a região parâmetrica (aqui o disco).

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Lembre que para \vec{F}=(F_1,F_2,F_3),
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right).
Aqui F_1=xz,\; F_2=yz,\; F_3=x^{2}+y^{2}. Calculando componente a componente:
  • Primeira componente:
\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} =\frac{\partial (x^{2}+y^{2})}{\partial y}-\frac{\partial (y z)}{\partial z} =2y - y = y.
  • Segunda componente:
\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} =\frac{\partial (x z)}{\partial z}-\frac{\partial (x^{2}+y^{2})}{\partial x} =x - 2x = -x.
  • Terceira componente:
\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} =\frac{\partial (y z)}{\partial x}-\frac{\partial (x z)}{\partial y} =0-0=0.
Portanto
\nabla\times\vec{F}=(y,\; -x,\; 0).

Passo 4

Parametrização da superfície S (e cálculo de \vec{r}_x\times\vec{r}_y).
Como S é a parte do plano z=x+y, é natural parametrizar por variáveis (x,y):
\vec{r}(x,y)=(x,\; y,\; x+y),
com domínio D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\} (o disco unitário), porque a interseção com o cilindro dá essa projeção.
Calculemos os vetores tangentes:
\vec{r}_x=(1,0,1),\qquad \vec{r}_y=(0,1,1).
O produto vetorial (vetor normal não-unitário) é
\vec{r}_x\times\vec{r}_y= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} =(-1,\; -1,\; 1).
Observação curta: esse vetor tem componente z positiva, então corresponde à orientação “para cima” que escolhemos.

Passo 5

Formar o integrando (\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{r}_x\times\vec{r}_y) e simplificar.
Temos \nabla\times\vec{F}=(y,-x,0) e \vec{r}_x\times\vec{r}_y=(-1,-1,1). O produto escalar é
(\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{r}_x\times\vec{r}_y) = y\cdot(-1) + (-x)\cdot(-1) + 0\cdot 1 = -y + x = x - y.
Assim, pela fórmula de Stokes,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_{D} (x-y)\,dA,
onde D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.

Passo 6

Avaliar a integral dupla sobre o disco unitário. Aqui usamos simetria — explico com calma:
A integral se separa:
\iint_{D}(x-y)\,dA=\iint_{D}x\,dA - \iint_{D}y\,dA.
O disco D é centrado na origem e é simétrico. A função x é ímpar em relação à reflexão x\mapsto -x: para cada ponto (x,y) em D existe o ponto (-x,y) também em D, e as contribuições de x nesses dois pontos se cancelam. Logo
\iint_{D}x\,dA=0.
Mesmo raciocínio para y: a reflexão y\mapsto -y mostra que
\iint_{D}y\,dA=0.
Portanto
\iint_{D}(x-y)\,dA=0-0=0.
(Se preferir, poderia fazer em coordenadas polares: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta, e integrando \cos\theta ou \sin\theta sobre [0,2\pi] dá zero.)

Passo 7

Conclusão e comentário final.
Pelo Teorema de Stokes e pelo cálculo acima,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0.
Como observado, a escolha da orientação foi a do normal com componente z positiva; se alguém tivesse escolhido a orientação oposta, o sinal da integral seria trocado — mas aqui o valor é zero, portanto independe da orientação.
Força aí — deu trabalho, mas a resposta final é simples!

Resposta

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