Considere \vec{F}(x, y, z)=\left(x z, y z, x^{2}+y^{2}\right). A curva C é a interseção entre o cilindro x^{2}+y^{2}=1 e o plano z=x+y. Considere como superfície S a parte do plano z=x+y limitada por C. Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
Vetor campo \vec{F}(x,y,z)=\left(x z,\; y z,\; x^{2}+y^{2}\right).
Curva C é a interseção entre o cilindro \;x^{2}+y^{2}=1\; e o plano \;z=x+y\;. Portanto C é uma curva fechada (um “círculo inclinado”).
Superfície S é a parte do plano \;z=x+y\; limitada por C. Logo S é a região planar cuja projeção no plano xy é o disco unitário \;x^{2}+y^{2}\le 1.
O que pedir: calcular \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Observação: o enunciado não especifica orientação de C. Quando for necessário escolher orientação para aplicar teoremas, vou adotar a normal do plano com componente z positiva (normal “para cima”), o que corresponde a percorrer C no sentido anti-horário quando visto de cima. Se a orientação fosse a oposta, o sinal mudaria — mas vamos ver o resultado.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicadinha e amiga): existem duas formas principais de calcular \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}: parametrizar diretamente a curva C e integrar, ou usar o Teorema de Stokes (que transforma a integral de linha numa integral de superfície do rotacional). Aqui o uso do Teorema de Stokes é mais prático porque a curva é exatamente a fronteira de uma superfície simples S (parte do plano) e o rotacional de \vec{F} vai dar algo simples. Além disso a projeção da superfície no plano xy é o disco unitário, que é fácil de integrar. Vou então aplicar o Teorema de Stokes.
Breve aula: o Teorema de Stokes diz o seguinte. Seja S uma superfície orientada com fronteira \partial S=C. Então
onde \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F}, \vec{n} é o versor normal unitário escolhido (orientação de S) e dS é o elemento de área da superfície. Uma forma prática é parametrizar S por \vec{r}(u,v) e usar \vec{r}_u\times\vec{r}_v\,du\,dv como o vetor normal não-unitário; nesse caso
O disco D é centrado na origem e é simétrico. A função x é ímpar em relação à reflexão x\mapsto -x: para cada ponto (x,y) em D existe o ponto (-x,y) também em D, e as contribuições de x nesses dois pontos se cancelam. Logo
\iint_{D}x\,dA=0.
Mesmo raciocínio para y: a reflexão y\mapsto -y mostra que
\iint_{D}y\,dA=0.
Portanto
\iint_{D}(x-y)\,dA=0-0=0.
(Se preferir, poderia fazer em coordenadas polares: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta, e integrando \cos\theta ou \sin\theta sobre [0,2\pi] dá zero.)
Passo 7
Conclusão e comentário final.
Pelo Teorema de Stokes e pelo cálculo acima,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0.
Como observado, a escolha da orientação foi a do normal com componente z positiva; se alguém tivesse escolhido a orientação oposta, o sinal da integral seria trocado — mas aqui o valor é zero, portanto independe da orientação.
Força aí — deu trabalho, mas a resposta final é simples!